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§ HI. Altro modo più spedito di conseguire progressivamente ogni equazione 



a' quadrati delle differenze. 



In una Memoria lotta all'Istituto Veneto di scienze lettere ed arti il 17 gen- 

 najo 1859, ed inserita nel voi. IV serie III degli Atti dell' Istituto stesso, proposi 

 un procedimento atto a dedurre più facilmente 1* equazione a' quadrati delle diffe- 

 renze di qualsivoglia equazione algebrica, qualora sia nota quella dell'equazione di grado 

 prossimo inferiore. Esso non è che 1' estensione a siffatta ricerca del metodo addi- 

 tato dal eh. sig. J. A. Serret nella Nota III del suo Cours d'Algebre supérieure (edi- 

 zione 2*), onde conseguire l'espressione del prodotto de' quadrati delle differenze tra 

 le radici d' ogni equazione algebrica. 



Questo metodo consiste nel riguardare la data equazione quale trasformata 

 d'altra equazione primitiva la cui incognita siasi diminuita d'una costante indeter- 

 minata k, e neir avvertire che ogni funzione delle differenze tra le radici della 

 data equazione sarebbe indipendente da k, e che perciò si annulla la sua derivata 

 rapporto a k, indi nello svolgei'e con questo mezzo l' espressione richiesta se- 

 condo le potenze intere dell' ultimo termine della data equazione , essendo noto il 

 suo valore nella considerazione che sia nullo l'ultimo termine. L'uso dell'equazioni 

 ausiliarie alle differenze delle radici (3) (9) etc. rende evidente 1' esposizione del me- 

 todo stesso, e la sua applicazione. 



Riguardiamo pertanto la data equazione (1), di cui si cerca l'equazione a'qua- 

 drati delle differenze, come provenuta da una primitiva qualunque del medesimo grado 



T{a) = w" 7i go"-'h- 7ì w"-'^ y„-i co -4- 7,, = 0, 



nella supposizione di 



oj — k — X. 



Avremo 



T{k -H ^) = V{k) T'ik) X Y'{k) ... - T('^-^){k) 2.3.^'('^!_i) -^'-Q> 

 e dal paragone colla (1) 



(20) a„ - T{k), = r(/c), = ~ F' (/c), ... a, = ^.S ...\n-^l) ^^'"'^^^^ ' 



donde, mercè la derivazione rapporto a k, raccoglieremo le relazioni 



/r,i\ / dan\ / da„-i\ „ / da„_'i\ f dai\ 



conformi in tutto alle (5), se non che in quelle manca 1' eguaglianza simile alla 

 prima delle (20), attesoché 6„= A [x^) = 0. 



Osserveremo per incidenza che qualora dalle (20) si dovessero dedurre i va- 

 lori di 71 , 72 ... 7,1 espressi per ax , % ... a„, basterebbe porre nella (1) x— — /c-t-Q 

 per ritrarne 



