D'altra parte, mercè lo sviluppo di (1 — troviamo 



x" 1 — x)'" - dx — — {m — 2) -t- 5^ 



^m-h/)— 1 



(- 1)""-^ — T Ci , 



e quindi 



i \ /i \,n-i 7 1 / - (771— 2) (m— 3) 1 



! xUl — x)'" uìx= — (m—2) -4- ' 'y — 



0 ^ ^ p-t-l ^ ' p-h-2 1.2 p-h3 



- (- 1)"-- ^ ; . 



Conseguentemente 1' eguaglianza delle due formule esprimenti il medesimo integrale 

 definito offre, per ogni valore intero e positivo di p e di m, 



(64) ^_(,„-2) ' , On- !)(.» - 2) I _ 



p-H- 1 ^ ' p-^2 1 . 2 p-^'ò 



(_ i)".-3 (^m — 2) H (— 1)"'"^ 



m p — 2 ' m p — 1 



PÌP — 1) Ìp — 2) ... 3.2.1 



{m — 1) m (m -t- 1) ... [m -+- p — 1) ' 



e per p = l 



^ m — 2 {in — 1) (m — 2) (m — 1) (m — 2) (m — 3) 

 ' 1.3"^' 1.2.4 1.2.3.5 



1 1 



(— l)'"-2 



—"2 



m (w — 1) m ' 



di modo che, sostituito questo valore nel primo membro della (63), se ne deduce 



^m-i _ (n— l)(n— 2) ... (n— m^l) ^ (m—2) (-»— 3) ...(n— m^l) „ 



1.2.3 ...(m-l)m 1.2.3 ... (m-2) '''^^^ 



(n — 3)...(n — m^l) ,„_3 



1.2.3. ..(m- 3) 



- (- 1)"^-^ (n-m^2Kn-m-^ ^_,5,^-^(-l)'"-^(7Z-m-^l)«„,_i^,--(-l)'"-i«,.. 



Se nell'applicazione di questa formula per valori particolari di n e di m mancasse 

 la legge del decremento ne' fattori del numeratore , o dell' aumento ne' fattori del 

 denominatore di alcuna delle frazioni in essa comprese, si potrà assegnarne il valore, 

 mediante l'eguaglianza 



cefi) (" — ?) {n — q — 1) - (n— m 1) ^ {n — q) {n —q — 1) ... {m — g-^l) 

 ^ ' 1.2.3...(m — g) 1.2.3...(w — m) 



Possiamo altresì ricavare 1' espressione (65) assumendone la forma a coefificienti 

 indeterminati, che si rileva dall' inspezione delle (62), 



(67) &„ — ;po(w) &i™ -4- Pi (m) ai b{"-^'^ ... p, (m) oc,- h{"-'- ^ ... (— l)"'-^a,„, 

 e nella quale il coefficiente dell' ultimo termine dev' essere z^z 1, secondochè m sia 

 pari 0 dispari, cosicché abbiamo p,„(m) = ( — 1)"'~'. 



