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Derivando la (67) rapporto ad x^, e dividendo per n, siccome le derivate di 

 «2, «3 ... «,,1 rapporto ad sono nulle (62), troviamo a cagione delle (5) 



— m-+-l)b,„_x-=mp^{m)-¥-[m — 2)p2(w)a2&i"'~''-+-...-t-(m — r)p,.(?n)«r&i"'~''~^ 



pm-\ {m) : 



e poiché analogamente alla (67) abbiamo 



n"'--b,„_i=p(){m—l)b{"-'^^Pi (/n— 1) ...^p, {m — l)ocrbi"'-'-^-^ etc. 



dovrà questa espressione moltiplicata per n — on 1 identificarsi colla precedente. 

 Al quale effetto oltre l'eguaglianza de' coefficienti rispettivi di bi" 



m Po (m) = {n — m \) pt^ {m — 1) , 



basterà stabilire l'eguaglianza de' coefficienti di b{^~^~^, cioè de' due termini gene- 

 rali da cui si ricavano gli altri per r eguale a 2, 3 ... m — 1, vale a dire l'equazione 



(»i — r) p,. {m) — {n — m -+- 1) p,. (m — 1 ). 



1 



Ora per la 1* delle (62) abbiamo evidentemente p^, (2) = — - — , e dalla soprad- 



detta eguaglianza p,n {m) = ( — 1)'"~^ si ha pure, per m = r, p,. (r) = ( — 1)'"^ 

 Pertanto sostituendo ad m gli interi inferiori fino al 2 nella penultima, e fino ad 

 r -I- 1 neir ultima delle precedenti equazioni, troviamo le due seguenti serie di 

 eguaglianze : 



m po {m) = {1% — m -t- 1) Po {'^ — 1) , (^'i — p,. (w) = (n — ?n -t- 1) pr {m — 1), 

 {m — l)p(}{m — l)=(n — m-+-2)po("' — 2), (?n — r — l)p,.(m — l)=(n — m-^2)po{m — 2), 



3 Po (B) = (n — 2) Po (2), 2p,. (r 2) = {n — r — 1) p, (r 1), 



2 Po (2) = 71 — 1 ; p, (r 1) = (w — r) (— ly-'; 



donde si raccoglie, moltiplicando fra loro i rispettivi membri di ciascuna serie, e 

 togliendone i fattori comuni, 



2.3...,(m-T)^ ' 



P''^""'^-^ 1.2.3...(w-r) 



e quindi sostituendo nella (67) il valore di po{m), e quelli di pi(m),p^{m),QÌQ. 

 dedotti dall' altra formula, si riproduce la (65). 



V ha un terzo modo di conseguire la (65) , che si presenta 1' ultimo perchè 

 il pili semplice. Si assuma 



(68) è = n a? -t- ai , 



e sottraendone (4) b]^ — nx()-^a\ si avrà (2) 



(69) i,^h^ = nij. 



