Eliminando x fra la (68) e la (1), si troverìi 1' equazione simile alla (57) 



(70) E (fc) = i- i"— «jò"---n-a3Ì"-3^ ...-^(—l)"'--a,„_i/y'-"'-i-^-...-^(— !)"-'«,.= 0, 



donde, sostituendo &i -+- w ?/ a ed ordinando, si deduce, a cagione (57) di E ^\) = 0, 

 dopo di aver diviso per n xj, 



n™ 1.2.3 ...(n-1)™ l.2.d...{n- mf''^' --^^^'^li 



Ma dalla (3) moltiplicata per si ba pure 



i (n//)"-!^ b^ ('ny)"-^-4- nò^ (n?y)"-3H- ... -Hn'"-^ b,„ (7ì (/)"-'"-! -4- ... 7i"-'''ò„_i=:0; 



conseguentemente, per la coincidenza delle due equazioni in ny, si ha dall' egua- 

 glianza de' moltiplicatori rispettivi d'una stessa potenza n — m — 1 di ny 



^ ' 1.2.0... [n — m) 



cioè (70) 



I (,n_l)(7i_2) ... (mH-l)6i"'— (n— 2) ...(m— l)a2fci'"~--+- 



.,i"-iZ,„ = -_J^ ... (-1)"-^ (n — m-^1) (H-m) ... 3.2«,„_ièi 



^.d ... (VI - m) ^ _^ ^_ _ 1 _ ^^^^ 2 . 1 



la quale espressione ricade nella (65), attesa 1' eguaglianza (66). 



È facile verificare la (71), prendendone la derivata rapporto ad Xq. Trovasi in- 

 fatti, a cagione (5) di ^^^'^ = (^^ — ''^^ 1) ^'-«-i e (^^^^ ' 



1 . 2 . 3 ... (n — m-4- 1) ' 



cioè la stessa (71), postoAd m — 1 in luogo di m. 



Importa avvertire, circa alle funzioni (58) (62), che qualsivoglia funzione di 

 bi, bi, &3 etc, da cui venisse a sparire la Xq mediante 1' equazione A{x(,) — 0 (1), 

 sarebbe esprimibile per le sole funzioni ai, U;], ... a,, (58) (60). Imperocché elimi- 

 nandone &2, Z's, ... mediante le espressioni esibite dalla (65), la proposta funzione non 

 conterrebbe che a»» «s^a» ••• <5^u e &i ; e poiché dee mancarvi x^, dovrà parimente spa- 

 rirne 6i, eh' è funzione di a^O) per mezzo della (57), i cui coefficienti sono le stesse 

 funzioni ui, ... ce, di a\, ... a» (58) (60), ovvero di &i, ... b„_i (62). Pertanto 

 quest' ultime (62) sono le funzioni più semplici, ossia del minor grado, per cui si 

 può esprimere ogni altra funzione di &i, bi ... b„_\, dalla quale sparisca la x^ col 

 mezzo dell' equazione A{xo) = 0, cioè che rimane invariata, qualunque radice della (1) 

 vi si ponga invece di xq. Per questo carattere delle (62) si può dare ad esse il 

 nome di funzioni invariabili elementari, o neutre elementari. Si è già dato un sag- 

 gio di questa Proposizione nel § II, esprimendo per due funzioni elementari inva- 

 riabili il prodotto de' quadrati delle differenze tra le radici d' una equazione del 

 terzo grado. 



