Per n ~- 4 abbiamo (72) 



K (ai) = ai''— af^J «]■' 4 ai'-— 4^0^ ai 4'' , 

 K' (ai) =: ai*— 3 af^J ai^^ 2.4 a^ ai— 4^ a;, , 

 i K" (ai) = A «i^— 3 «n^ ai-f- 4 ao , 



e quindi (73), come dalle (58) (60), 



3 3 



(75) -3:1= — ai*— 4ai%2-<-4^aia3— 4*04, a3=2ai'*— 2.4aia2-^4'^a3, ^2= — ai^— 4a2. 



Per w = 5 (72) 



K (ai) = ai"' — a/'^ ai*-H 5 ai^ — 5^ a3 ai^-^ 5'' «4 ai — 5'^ a^ , 

 o 



ir (ai) = a/*— 4:aCyai^-^ 3 . 5 a, ai^— 2 . 5^ a^^ 5* «4, 

 ìK' (ai) = 2 ai^— 2 3 aC^ ai^^ 3-5 a^ ai— 5'- a3 , 



~K"' (ai) = 2 ai'-— 4 a/V ai-^ 5 ; 



c quindi (73) 

 4 



(76) «3=— ai^ — 5ai'a2-H5^ai\i3— 5*aia4-H-5%3, a4:=3ai* — 3.5ai%2-^-2.5^aia3 — 5^a4, 



«3= 4 ai* — 3.5 ai a^-i- 5^ a^, 2 ai^ — 5 a^i , 



come dalle stesse (58) (60), 



Osserveremo a questo luogo che pel passaggio reciproco dall' una all' altra delle 

 equazioni T (co) = 0, A (a?) = 0, mediante la relazione w — k = x, accennato dalle 

 relazioni (20) (22), se si prenda il sistema d'un numero qualunque delle equazioni 

 (20), e partire dall' ultima, esprimenti ai, «2, ... a„„ se ne deducono i valori di 

 71, 72 ••• 7ffl, e reciprocamente quelli da questi, alternando rispettivamente ai, ai... a,„ 

 con yi, 72 ••• 7m, e mutando il segno di k. Simile osservazione varrebbe a desumere 

 da' valori (4) di òi, b^, etc, quelli di ai, a2, «3 etc, mercè V alternazione rispet- 

 tiva di queste quantità, e il mutamento di segno della x^. 



Passiamo a considerare 1' equazione (3) che ha per radici le differenze tra x^ 

 e r altre radici della (1). Ponendo analogamente alla (68), ed in conformità del- 

 l' espressione di ci desunta dalla (10), 



(77) c = (n-l) 



si avrà coli' eliminazione di y fra questa equazione e la (3), una equazione analoga 

 alle (57) (70); se non che n vi è ridotto ad n ~ l, e le funzioni elementari 

 ^t, 1X3 ••• si trovano mutate nelle funzioni /S^, ^3 ■■■ /3«_i determinate da forme 

 analoghe alle (58), col solo mutamento di n in n — 1 , e di ai, a2 ... a» in bi, b^, etc. 

 Avremo cioè 



(78) ^—j- c"-i— /32 c"-* ^3 C'-* — ... ^ (— l)"-*/3„_2C (— ly-^ |S„._i = 0, 

 Parte seconda — Vol. 111.° — Serie S-" 42 



