esplicitamente nella data funzione, questa conterrà soltanto b^, b^, ... e chiamata tp 

 si svilupperà nella serie 



Ora le replicate derivazioni della vengono notabilmente agevolate mercè la sem- 

 plicità de' valori delle derivate di b^, b^, etc. rapporto a bi. Infatti dall' equazione 



b,-= nxfì-*- cf'i avendosi ('^) = — , troviamo, a cagione delle (5), e di 



\abi / n ^ 



/ dK\ _ / db,„\ / docA n — m -+- 1 

 \dbj — \dXo ) \clb^ )~ n '"-^ ' 



(-) (^)=i^--. c^^)=i*.-^-- (1-:)='^* 



Quindi ottenuti agevolmente i valori delle progressive derivate di rapporto a 6i, 

 non resterà che porvi = 0, e in luogo di b^., b^ etc. i corrispondenti loro valori 

 desunti daUa formula (65), che ci dà per bi=0 



cioè 



(87) (^2)0 = — ' (^3)0 = ^ , (^4)0 = — :^^ - {bn-i)f>= - — — . 



Dedotto in questa guisa piìi semplice e spedita lo sviluppo di fp secondo bi, e diviso 

 per la (57) se fosse d'un grado superiore ad n — 1, avremo per risultato finale la 

 sua espressione d'un grado non maggiore ad n — 1 



= kfoJbi''-^ AriJ&i"-2-^ ... -f- Af''-'^)bi^kC"-V; 



e qualora la <p sia invariabile rispetto a òj, ossia per ogni radice della (1), si avrà 

 infine 



(88) p = Ar^-u. 



Chiuderemo queste teorie coU' osservare che il prodotto de' quadrati delle diffe - 

 renze tra le radici della (1) sarebbe, prescindendo dal segno, l' ultimo termine del- 

 l' equazione di grado n determinante &„_i= A'(d:o) per mezzo de'coeffìcienti della (1). 

 Infatti il valore numerico dell'ultimo termine di siffatta equazione sarebbe 



A'(^ro)A'(£ri)...A'(^r„_i)=(-l)'^(^o-£Ci)' ... {ocG—oe„_rY{x,— oc^)\.. {x„_^—Xn-i)^. 



Ma invece di ricavarla dall' eliminazione di .Tq tra l'equazione A' (xo) — = 0 e 

 la (1) è piìi facile dedurla dall'eliminazione di bi tra quella che si raccoglie dalla 

 (65) per m = n — 1, cioè 



(89) — (n — 2) ai b{^-'^ (w — 3) «3 ^i""' — - ^ (— l)""'2a._.. &i 



e la (57). A quest'uopo giova assumere il primo residuo della divisione della (89) 



