ed è nota l'identità 



1 1 1 



A' (.To) A' (,r„) ^ - ^ A' (.:r._i) " ^' 



per una proposizione dovuta all' Eiilero (Institutiones calculi integralis Voi. IL Sect. Il 

 Gap. Ili — Acta Academiae I. Petropolitauae 1777 P. I, pag. 91). 



§ VI. Applicazioni alle ordinarie funzioni cicliche, e ad altre funzioni 

 alle differenze tra le radici di data equazione. 



È manifesta l'utilità delle teorìe spettanti alle differenze delle radici nel calcolo 

 delle funzioni cicliche pili usitate, che sono fondamentali nella teorica delle equa- 

 zioni algebriche , e si formano elevando [ad una potenza di grado eguale a quello 

 della data equazione (1) la iimzione lineare delle sue radici, i cui coefficienti sono le 

 potenze digrado 0, 1, 2, ... n — 1 di qualunque radice diversa dall'unità dell'equa- 

 zione r" — 1 = 0. Evidentemente nella loro forma 



{xn -1- rcci -H r^tr^ ... -+- r"~^ 



la sostituzione circolare per cui xi, x<i, ... £c„_i, rispettivamente sottentrano ad 

 x^, X\, ... Xn-'ì, Xn-i, cioè la Xq si muta in Xi, la xi in x^i, e così di mano in mano fin- 

 che la Xn-i si muta in Xq, si effettua col dividere la formula per senza perciò alte- 

 rarne il valore, attesoché 1. Infatti ne abbiamo 



{xo -I- rxi -+- r'^x^ -+-... r """^ Xn-i) "■ 



- Xq-ì- xi-^ rx<i -(- ... Xi,_i^'^ 



= {xx -+- rxt ... -+- Xn-\ r"-~'^ ìTo)". 

 Potrebbesi invece eseguire la sostituzione circolare nell'ordine opposto, cosicché 

 Xq, X\, ... Xn_i subentrino rispettivamente ad Xi, Xt ... Xq, immaginando che la data 

 formola venga moltiplicata per r^. 



Nel caso di n non primo, si può pili semplicemente adoprare uno de' suoi fat- 

 tori m, elevando ad m la funzione lineare delle radici della (1) che ha per coeffi- 

 cienti le potenze 0, 1, 2, ... w — 1 d'una radice diversa dall'unità dell'equazione 

 r'" — 1 = 0. I risultati che si deducono dalla divisione o dalla moltiplicazione per 

 r'" sono conformi a' precedenti. Se non che le potenze 0, 1, 2, ... n — 1 di r assumono 

 periodicamente gli stessi m valori 1, r, r^, ... r'"~^ 



Ora il vantaggio recato dall'uso analitico delle differenze tra le radici consiste 

 nella riduzione della prefata funzione delle n radici della (1) ad una funzione delle 

 sole n — 1 differenze tra X(^ e l'altre radici. Imperocché, a cagione dell'eguaglianza 

 desunta dalla divisione di r'' — 1 = 0 per r — 1 = 0, cioè 



la sostituzione in luogo di xx, x%, ... de' respettivi valori (2) x^ -+- ^o> £*?o yu ••• 

 X(i -+- yn--ì somministra l'eguaglianza 



(91) (a-o rxx r^x, ... r'-i a;„_i)" {ryo r'-yx-^ ... - r-'^n-t)" 



= {yo ri/x ... -H r"-V«-2)" 

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