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che ha luogo del pari, se, non essendo n numero primo, venga surrogato da un suo 

 fattore m, e sia r una radice diversa dall'unità dell' equazione r™ — 1 = 0. 



Daremo due esempj di questa facilitazione di calcolo ne' casi pili semplici delle 

 equazioni di terzo e di quarto grado. Sia la data equazione (1) di terzo grado 



aJ^ aix'^-+- ttì -I- «3 = 0, 



e, senza mestieri di privarla del secondo termine, assumiamo (91) la funzione ciclica 

 risolvente 



e = {xf,-^ rxi-^- r'^a\f = {ri/o-^ r'^uif, 



in cui r e radice diversa dall' unità dell' equazione — 1 = 0, ossia radice di 



,'2 _^ r ^ 1 = 0. 



L'altro valore 9i di 9 si ha dall' alternare ?/n con ovvero dal porre in luogo 



di r, cioè la terza radice dell'equazione — 1 = 0 ed è perciò 



9i = {r^>/o-+-r!/if- 



Quindi estraendo le radici terze da' valori di 9, 9i,e denotando con 5 a, due con- 

 venienti valori di queste radici troviamo 



(92) njo r^l/i = 9K r% nji = 9^, 

 e siccome sarebbe (3) (62) (58) 



(ryo rhjx) {rhjo -4- ryi) =>o^ ^ pi' — Vol/i = — ^b^i = «i^ — 3a2 == «2 . 

 abbiamo per condizione nella loro scelta 



(93) 0^ ai'-— 3fl2=«2- 

 La somma de' cubi delle (92) ci porge inoltre 



0^5i=2(yo'-^yi3)--3(^o^2/i)^oyi=-(2&i^-96iM=-(2ai^— 9aia,-4-27a3)=-i^3; 

 di maniera che l'equazione ridotta che ha per radici i due valori 9, 9i di 9 diviene 



e sì ha quindi 



(94) 5=-ia3-V/'(4«3'-«i'), 9, = --kciz-v(^^<Xì' — c</^- 



La somma delle (92), a cagione di r-^i'^=— 1 e di i/o-*- i/i = — ^i, offre 



e poiché bi = Sxq -+- ai, ne viene 



3xo= — ai-^9^-^ 9ii- 



Se poi sommiamo l'equazione ^o-k?/i = — bi colle (92), rispettivamente moltipli- 

 cate prima per r'^, r poscia per r, r^, ne dedurremo 



dì/o = — òi r-9^ -+- r9Ì Si/x = — r6i 9ii, 



