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e sostituendo ad //o, y\, hx i rispettivi vaioli a'i — ;ro, .ri — .ry, 3,ro «i avremo le 

 espressioni dell' altre due radici 



Sottraendo i cubi di 6^, 9i^ò (92) si avrebbe (2) 

 5 — 5i = 3 (r — r-) t/o y 1 (y» — y 1) = 3 (r — r^) (.to — a-i) (a?o — ^2) (a^i — ^^2) ; 

 e poiché dall'equazione r^-t-r-+-l—0, ovvero dalla formula cos —±V^—lsen~ che 



O ó 



esprime i valori di r, r^, abbiamo 



r = i| — 1 -HV/-3. r2=i| — 1 — V/3.\/^|, 



ne viene 



6 — 9iz=S\/S .V — l .{.ro — a\) {xo — £r.) (a?! — ^Tì). 

 Questo valore paragonato colla differenza de' valori (94) somministra 



(95) (.ro — Xi) {xo - Xi) {xi — x^) = (^«2^ — «3^) • 



Il suo quadrato coincide col prodotto de' quadrati delle differenze tra le radici d'una 

 equazione di terzo grado altrove ottenuto (19). L' equazione (95) insieme colla 

 Xi-t-Xì— — {xo-^-cLi) serve ad esprimere x\, X'^ razionalmente per a\ e per la 

 radice quadrata di quantità nota. L'espressione della fimzione (95) fu osservata pri- 

 mieramente dal Vandermonde (Mémoires de l'Académie des Sciences 1771), il quale 

 introdusse nell'analisi algebrica la considerazione del prodotto delle differenze di n 

 quantità, eh' è il tipo più semplice delle funzioni dotate di due valori, a cui l'insigne 

 Cauchy diede il nome di funzione alterna, assegnando la legge del suo sviluppo (Cours 

 d'analyse algébrique P. I C. Ili § 2°). Il quadrato della funzione del Vandermonde 

 corrisponde alla funzione che l'illustre Sig. Sylvester, seguito dagli odierni analisti, ha 

 chiamato discriminante delle forme binarie. 

 Passiamo all' equazione del quarto grado 



x^ ai X? H- ciì £c^H- as a? -I- «4 = 0, 



ed osservando che l'equazione ausiliaria r'"- — 1 = 0 ha per divisore — 1 = 0, da 

 cui r — — 1, assumiamo, come si suole, per funzione ciclica risolvente il quadrato 

 della funzione lineare delle radici che ha per coefficienti le potenze 0, 1, 2, 3 di — 1 

 cioè (2) (3) 



ri = {x^^Xx-^ Xt — X'if = (— 7/0 ^ — ^2)- ^(2^/1 &i)\ 



Sostituendo ad y\ le altre due radici yi, y^ dell'equazione (3), ricaviamo gli altri due 

 valori di t„ cioè 



•*:i=(2^,-^W •/:2=(2i/o-^^>i)l 

 Quindi coll'estrazione della radice quadrata abbiamo 



(96) 22/i-^&i='/3Ì, 27/2H-&i=v3ii , 2yo-^&i=-/32-i , 



