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Avvertasi che dalle (96) si avrebbero i valori di cci, ic^, ira in funzione razionale 

 della Xo, e delle rispettive radici della (97), due delle quali possono inoltre espri- 

 mersi per la terza, e per la radice quadrata di quantità nota. Imperocché possiamo 

 applicare la formola (95) all'equazione (99), coli' avvertenza che nella (95) i rispet- 

 tivi valori di «2> ^^3 sono a — 3a2, 2ai^ — daia^-i- 27a^, ed analogamente divengono 



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per la (99) — 3ai, 2uì^-+- 18a2«i — ■^"'^s^- Troviamo pertanto 



(100) {-^-m) {-C-m) (/3i--'32) = 



3\73^'^^''^'""^^^)' ~ {^oc,'-^18c<,oc,-~cc,r-] 



e poiché (vj — >2i) (vj — vj,) equivale alla derivata del primo membro della (99) 

 abbiamo 



(3>3^ — 4^2 13 -H -^- «4) (jJi — VJi) = 



V^l 4 («2^ - 3^4)' - ISoc, a, - ^ «3')' } • 



Questa equazione, e l'altra poc'anzi addotta vj 1-1- ■/;2= 2 sr» — '0^ offrono i valori di 

 •/3i, vj2 espressi razionalmente per vj e per la radice di quantità nota. 

 Osserviamo ancora che, a cagione di 



■n — m= (2^/1^ &i)-— {2yi-^ bif = —Ayi^ {y\ — y%), 

 e per le simili eguaglianze esprimenti ci — fìi- 'Cì — vj, abbiamo 



(•/J — rj 1) {-n i—-^ì) im — rj) = — 4''' i/i, yi y^ {yi — y.i) {y^ — yo) {yo —yi), 

 ossia, mutando il segno e sostituendo ad yo, yi, yi i rispettivi valori (2), 

 (■'5 — V7l) {o — 'Oì) {fll—-ni) '-=^^ (■^0— J"l) (J^O— i'2) {Xo—Xi) [Xi—Xì) [Xi—X-i) (^2— J":}). 

 Il paragone del quadrato di questa formula col quadrato della (100) esibisce la se- 

 guente espressione del prodotto de' quadrati delle differenze tra le radici d'ogni equa- 

 zione di 4" grado, già notata dall' illustre Sig. Cayley e da altri Analisti, 



(101) (a'o — xx)- {xo — ^^2)^ (J^o — ^'3)- {fc\ — Xì)- {xx — Xzf' [xi — x-iY 



= 33^ I 4 {a^ - 3«4)' - (2^.^ 18«2 - ^ aa^-) ^ | . 



Essa, come il quadrato della (95), è costituita dalla differenza tra il cubo d'una fun- 

 zione ed il quadrato d'un altra. Il modo onde venne dedotta la (100), per mezzo 

 della (95), rende ragione di siffatta simiglianza di forma. Si può facilmente ricono- 

 scere la sua coincidenza colla espressione offerta alla fine del § V. 

 Talora invece della vj fu adoprata la funzione risolvente 



ì^ = XtjXx-^ Xi , 



che rimanendo immutata per la sostituzione circolare [x^, x^, Xx, x%, Xo) cioè pel mu- 

 tamento di Xq in £C2, di x^ in xx, etc. e di Xz in Xq, ha pure tre valori, e viene 

 determinata da equazione di terzo grado. Per trovare la relazione tra ^ ed y], introdu- 



