Vni. Riscontri di verificazione del frecedente risultato. Nuovo modo di ricerca 

 dell' equazione a' quadrati delle differenze. 



Si è già trovato (§ V) che per avere l'equazione determinante la derivata h,i_\ (4) 

 del primo membro dell'equazione (1), basta dividere la (90) per la (89), onde ricavarne 

 n — 2 residui, i quali rispettivamente moltiplicati per bi"~'^ offrono colla (90) 



moltiplicata per hi un numero n — 1 di equazioni, fra cui eliminando le n — 2 po- 

 tenze di hi si ha per risultante l'equazione richiesta. Di questo mezzo si fece allora 

 l'applicazione ad una data equazione di 4" grado, ed ora non sarà malagevole de- 

 durre r equazione determinante b^, supposto n = 5 il grado della data equazione (1). 



A tale oggetto ponendo per brevità b^bi=u, abbiamo dalla (90) moltiplicata 

 per bi 



2cxìbi^ — 3^3 /^i^^ (4^i — ^0 — bar, = 0, 



a dividersi (89) per 



bf^ — Sa» -I- 2a;i bi — — to = 0. 

 1 tre successivi residui rispettivamente moltiplicati per bi, bi^, bi^ sarebbero 



— 3«3^i'''-+- {(ìc(ì--+- ioci — w) bi- — {AocìU'i-^ 5!5:;;) bi-i- 2aì («4-+- u) = 0, 



(6«2^-^ 4(5:ì — b{^ — (13a2«;ì-i-52»:;;) ò 1^-1- (6x3^-1- 2«2f5ri -+- 2U'ìu) bi — 3a;ì {c<i-^-u) — 0. 



— (13«9if3-(- Sa-;) & 1^-1- (18a2^-^- Ha^ai-^ Qocy' — aM) b^^ 



— (12a2^a3-i- 110:30:4 -(- U'iu) 6^^2-0:4 -^iarf^-^ (60:2'- 3i?4)« *— 



e per avere la risultante richiesta, non si ha che a mandare a zero il determinante 

 che ha per elementi i moltiplicatori delle rispettive potenze di bu e i gruppi de'ter- 

 mini non contenenti b^, nelle quattro equazioni che sono il dividendo anzidetto e i 

 suoi tre residui. Per la ragione notata alla fine del § V dovrà annullarsi neireqnn- 

 zione finale 1' aggregato de' termini contenenti la prima potenza di &i, e poiché il 

 termine contenente la più alta potenza di u sarebbe u''=h'^'''b^' per l'osserva- 

 zione, che si fece nello stesso § V dopo la (88), l'ultimo termine dell'equazione in br, 

 equivale a 5^^P;;; ne segue che annullando u nel determinante dianzi accennato 

 avremo 



(110) 5i'»P3 = 



2«2 — 3s>f3 4a4 — har, 



— 30:3 60:2^ -t- 40:4 — (4a2a3 H- Sa-;) 2a2Cf4 



C5f2^-4- 4«i — (13a2a;! 5ar,) 6c<:3--+- 20:2^4 — 3o:ji<4 



— (13«2a;ì-4- 57:;), 18a2''-^ 145C2«4^ 65:3'^ — (12«2-^ 11^;4)«3, (6a2^-^4c<0«i 



e dallo sviluppo di questo si potrà di nuovo raccogliere il risultato (109). 



Infatti svolgendo il predetto determinante, il quale ridotto a zero costituisce 

 l'equazione in 5^òi, si trova, mutando il segno, dividendo per 5'"', ed ordinando 

 rispetto a b^. 



