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binomio di complessi, od anche (con una lieve estensione di significato) una con- 

 gruenza. 



Similmente, tre comiplessi C, C, C" hanno in comune un numero di rette sem- 

 plicemente infinito, le quali sono generatrici (di uno stesso sistema) di una superficie 

 di secondo grado, che dicesi superficie di raggi o di assi. Esse sono comuni a tutti 

 i complessi, in numero due volte infinito, di coordinate 



'>^yi-+- IJ''J\-^ viji', . . . ovvero X'/ji-t- (xm-^ v/si", • • • , 

 X: [j-i V essendo due parametri arbitrari!; e tatti questi complessi costituiscono ciò 

 che può dirsi una serie doppia o rete o gruppo trinomio di complessi. 



Non è qui il luogo d'insistere sulle proprietà di queste reti di complessi; ma 

 ci basterà accennarne alcune, le quali si fondano sulla definizione stessa delle reti e 

 delle congruenze, e in parte altresì sulle cose sviluppate nel secondo e terzo dei 

 lavori citati in principio: 



1° In ogni rete vi ha un numero semplicemente infinito di complessi speciali, 

 cioè ridotti ad una retta (direttrice) ed alle sue secanti; e le direttrici di questi 

 complessi si appoggiano alle rette comuni a tutti i complessi della rete, e quindi 

 sono le generatrici dell'adiro sistema nella teste accennata superficie di secondo grado 

 annessa alla rete. 



2° In ogni rete vi ha oo^ congruenze, individuate dalle infinite coppie di com- 

 plessi della rete; e le direttrici di tutte queste congruenze sono tra le generatrici 

 suddette. Due congruenze che appartengano ad una rete hanno un complesso comune, 

 e viceversa. Tre complessi non appartenenti a una stessa congruenza, ovvero una con- 

 gruenza e un complesso estraneo ad essa, ovvero due congruenze aventi un complesso 

 comune, individuano una rete. 



3° Il fatto, che le coordinate di ciascun complesso di una data rete o congruenza 

 sono funzioni lineari omogenee di tre, e rispettivamente di due, variabili, equivale a 

 dire che le coordinate di ciascun complesso di una data rete o congruenza soddisfanno 

 a tre, e rispettivamente a quattro, equazioni lineari ed omogenee rispetto ad esse 

 coordinate. E viceversa. 



Questa proprietà agevola di molto la dimostrazione di quelle che seguono, quando 

 si tenga anche presente che cinque equazioni lineari omogenee fra le coordinate di 

 un complesso individuano un complesso, e che piìi di cinque di cosiffatte equazioni 

 sono in generale incompatibili. 



4° Una rete e una congruenza non hanno in generale alcun complesso comune. 

 Ma per ogni dato complesso passano co^ congruenze aventi con una data rete un 

 complesso comune. 



5° Due reti non hanno in generale alcun complesso comune. Ma per ogni con- 

 gruenza passano oo^ reti aventi un complesso comune con una data rete, e per ogni 

 complesso oo^ reti aventi una congruenza comune con una data rete, 



6° In ogni rete esiste un numero semplicemente infinito di complessi appartenenti 

 all'associato dei complessi ('), i quali sono contraddistinti dalla equazione quadratica 



-^- f/ -+- vy", hj <j.y' vy" = ^ 



(^) Cfr. « / complessi e le congruenze ecc. » (Ann. d. Mat., s. II t. VII) § II. 



