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indicando con A: X': ... : X'" tre parametri variabili, costituiscono una serie quadrupla 

 0 gruppo pentanomio di complecsi. Enuncieremo alcune proprietà di queste serie 

 quadruple di complessi : 



1. " I complessi di una serie quadrupla L non hanno in generale alcuna retta 

 comune; ma esiste un complesso C in involuzione con ciascuno di essi; sicché il com- 

 plesso r coniugato a questo C è ortogonale a tutti i complessi della L, e però si 

 dirà ortogonale alla serie quadrupla L, e viceversa. 



Ad ogni L corrisponde un C e un F, ad ogni F un C e un L. 



2. ° Le coordinate di tutti i complessi di una serie quadrupla soddisfanno a una 

 stessa equazione lineare; e, viceversa, tutti i complessi le cui coordinato soddisfacciano 

 a una equazione lineare formano una serie quadrupla. 



3. ° Una serie quadrupla ha in generale di comune un complesso con una con- 

 gruenza, una congruenza con una rete, una rete con una serie tripla, e una serie tripla 

 con un' altra serie quadrupla. 



In una serie quadrupla esistono oo® congruenze, oo® reti, oo^ serie triple. Di queste, 

 due congruente, o una congruenza e una rete, non hanno in generale complessi comuni; 

 una congruenza e una serie tripla hanno un complesso comune; una rete e una serie 

 tripla una congruenza comune, due serie triple una rete comune. 



4. " In ogni serie quadrupla esistono oo^ complessi appartenenti all'assoluto 

 de' complessi : quelli per i quali 



kyy H- ... 2kyy' XX' ^ ... = 0. 



Sono ortogonali due complessi se fra' loro parametri X, ...e ... passa la relazione 



kyy XfJl ... -t- kyy' -+- X',a) -+- ... = 0. 



5. ° I complessi coniugati a quelli di una serie quadrupla formano un' altra 

 serie quadrupla coniugata alla prima. Ad ogni complesso coniugato con se stesso (') 

 corrisponde per ortogonalità (1.°) una serie quadrupla di complessi coniugata con se 

 stessa, e viceversa. 



6. " In ogni serie quadrupla L esiste una serie tripla di complessi ortogonali 

 a un dato complesso C, Che se ve ne è un altro, allora C sarà il complesso ortogo- 

 nale a L. 



In ogni serie quadrupla L esiste una rete di complessi ortogonali a una data 

 congruenza Gr, una congruenza di complessi ortogonali a una data rete H, e un com- 

 plesso ortogonale a una data serie tripla K. Ma in generale Gr, H e K non conten- 

 gono il complesso ortogonale alla L. Se ciò accade, si dirà G o H o K ortogonale 

 (semplicemente) a L, e viceversa. Allora L conterrà la serie tripla perfettamente or- 

 togonale a G, 0 la rete perfettamente ortogonale a H, o la congruenza perfettamente 

 ortogonale a K. 



7 ° Dato un complesso C e una serie quadrupla L, sia F il complesso orto- 

 gonale a L. È chiaro che la congruenza CF sarà perpendicolare a L, cioè sarà or- 

 togonale a L ed avrà con essa un complesso comune Co, proiezione di C in L. La 



(') Cfr. / complessi ecc. § IV. 



