F R A 



Enfin û le numérateur eft plus petit que le déno- 

 ■TOÎnaîeur ; c'eit une fraHion pure liir laquelle la di- 

 vifion n'a point de priie , & qui eft elle-même fan 

 quotient. 



■y- = 4 ell um fraciion de la première efpece ; f 



I une de la féconde ; f = f une de la troifieme. 



IV. Toute fraciion , comme celle - ci f , peut s'é- 

 îîoncer de deux manières , ou 2. divifépar ^ (c'eiî-à- 

 dire U tiers dt deux) ou deux tiers. La première ma- 

 nière eft relative aux définitions ci-deflus. Suivant 

 îa féconde , on conçoit l'unité divifée en parties 

 dont le dénominateur indique Vefpeu & le numéra- 

 teur le nombre qu'il en faut prendre. Mais cette di- 

 verfité dans la manière d'énoncer n'influe en rien 

 fur le fond ; foit qu'on divife z toifes ou i z piés par 

 3 , c'eft-à-dire qu'on en prenne le tiers , foit qu'on 

 prenne les deux tiers d'une toife ou de 6 piés, . le ré- 

 îiiltat efl: également 4 piés. 



V. Pour procéder avec quelque ordre dans une 

 matière d'un détail afîez épineux , nous traiterons 

 à^dhotààQs fraciions prifes fingulierement, puis nous 

 comparerons diverfes /raclions enfemble, enfin nous 

 en donnerons le calcul. 



VI. Des /raclions pri/es /ingulierement. La valeur 

 abfolue d\\ne /raclion efl: d'autant plus grande, que 

 fon numérateur eft plus grand fon dénominateur 

 plus petit ; &c au contraire. 



Pour en fentir la raifon , il fuffit de fe rappeller 

 que le numérateur efl: le dividende , le dénominateur 

 le divifeur, & la valeur de la /raclion le quotient. 

 Foyei Division. 



VIL Pour doubler, tripler, &c. la valeur d'une 

 fraciion , c'eft donc la même chofe de multiplier fon 

 numérateur, ou de divifer fon dénominateur par 2, 

 3 , &c. . . comme pour en prendre la moitié , le tiers , 

 &c. c'eft la même chofe de divifer fon numérateur 

 ou de multiplier fon dénominateur par 2,3, &c. 



VIII. Donc la valeur d'une /raciion n'efl: point 

 changée , foit qu'on multiplie , foit qu'on divife /es 

 deux termes par la même grandeur n ; car l'effet de 

 l'opération faite fur le numérateur fera détruit par 

 l'opération fubiéquente fur le dénominateur. C'eft 

 en effet multiplier ou divifer la /raclion par ^ = i ; 



or I ne change point les grandeurs, foit qu'il divife , 

 foit qu'il multiplie. 



IX. Cela même fournit le môyen de réduire un 

 entier a en /raclion d'un dénominateur quelconque n , 

 fans ahérer fa valeur ; il n'y a qu'à le multiplier &: 

 îe divifer par n. 



Si Ton fait « = i , on aura ax\ — \; & c'eft la 

 manière la plus Ample de réduire un entier infrac- 

 tion , lorfqu'on n'a pas d'ailleurs intérêt de lui don- 

 ner un dénominateur déterminé. 



X. On dit qu'une /raclion eft réduite à. /es plus /impies 

 ttrmes y O^s^nà. les deux termes qui l'expriment font 

 premiers entr'eux. Voy. Premier 6- Nombre pre- 

 mier. S'ils ne le font pas , on les réduit à l'être, en 

 les dlvifant par leur plus grand divifeur commun. 

 Ainfi ~ fe réduit à |, en divifant le numérateur & 

 le dénominateur par leur plus grand commun divi- 

 feur 6. Voye'^ Diviseur. 



II eft clair (/z*^. VIII.) que par cette opération la 

 valeur de l^/raclion n'eft point changée. 



XI. Pour trouver la valeur d'une /raclion relati- 

 vement à un entier d'une efpece déterminée, voici 

 la méthode. On fuppofe la /raclion pure; parce que, 

 {\ originairement elle étoit mixte , on a dû préala- 

 blement en rirer l'entier par la voie ordinaire. 



Le dénominateur de la /raclion reftant le divifeur 

 -conlîant 5 prenez fucceflîvement pour dividende , 1°. 

 îe numérateur réduit en aliquotes premières l'en- 

 tier {voyei Aliquote) ; 2°. le refte , s'il y en a , ré- 

 duit en aliquQtes fécondes de l'entier; 3°. le fécond 



refte réduit, &c. jufqu'à ce que la diviflon foit exac- 

 te , ou que vous foyez parvenu à l'aliquote dernière. 

 Ces divers quotiens feront , dans l'ordre qu'ils ont 

 été trouvés, des aliquotes premières, fécondes, 

 troiflemes , de l'entier. Si le dernier quotient 

 laiffe un refl^, vous l'écrirez Qn/raBion à l'ordinai- 

 re. Ainfl ccttQ /raBion f , s'il s'agit d'étendue , & que 

 l'entier foit une toi/e^ eft 3 piés 7 pouces 2 f lignes ; 



= 3 , & il refte 3 : '-^^^ = 7, & il refte i : 



car 



— — = 2 - 



La m^mQ /raclion \^ s'il s'agit de monnoie, & que 

 l'entier foit une livre , eft 1 2 f. 



Cete memQ /raclion |, s'il s'agit de tems, & que 

 l'entier foit une heure , eft 36'. 



XII. De la comparai/on des /raclions. Le but qu'on 

 fe propofe, en comparant enfemble diverfes /rac- 

 lions , eft de découvrir le rapport qu'elles ont en- 

 tr'elles. Ce rapport eft fenfible, dès que les /raclions 



ont le même dénominateur ; car ^ . ^~\\a,hy puif- 



que le produit des extrêmes eft égal au produit des 



moyens (^. Proportion), c'eft-à-dire qu'alors les 

 /raclions font entr'elles comme leurs numérateurs. 



Il ne s'agit donc que de donner aux /raclions pro- 

 pofées un dénominateur commun , lorfqu'elles ne 

 l'ont pas. Or pour cela , quel que puiffe être le nom- 

 bre des /raclions, voici une règle fimple & unique. 



Multipliez les deux termes de chaque /raclion par 

 le produit continu des dénominateurs des autres /ra- 

 clions ; il eft clair (/2°. VIII. ) que par cette opé- 

 ration la valeur de chaque /raclion primitive n'eft 

 point changée ; & il n'eft pas moins évident qu'il en 

 réfulte pour toutes les /raclions réduites le même dé- 

 nominateur , puifqu'il eft pour chacune le produit 

 des mêmes fafteurs. 



Premières /raclions ... 1 # 1 * f. 



b d g* 



Secondes /raclions... ^ii ^ % fili ou 



plus Amplement tll—lÈUtlil 

 ^ ^ bdg ' 



_ (+) Si les dénominateurs des /raclions ont un di 

 ifeur commun , on peut limphfier l'opération ei 



en 



cette forte: Soit & ^ qu'il faut réduire à même 



dénomination, les dénominateurs e ayant 

 pour divifeur commun g, je multiplie le haut & le 

 bas de la première par k feulement , & le haut & le 



bas de la féconde par e feulement , & j'ai — ^ & ^ 



(+) Ainfl, fi j'avois ^ à réduire à même dé- 

 nomination, je prendrois d'abord le plus graad com- 

 mun divifeur 8 de 16 & de 24 (-voye^ Diviseur) ; 

 enfuite j'écrirois -^^ = ^ , & ^= g^- ; enfuite 



je multiplierois le haut & le bas de la première /rac^ 

 tion par 3 , & le haut ôc le bas de la féconde par 2 , 



& j'aurois ~ 



3x5 



8x2x3 



-2_ & _L — Jjf^ — 



5 j_o . 



8x5x2 48 > 



& ainfl des autres. 



Du calcul des /raclions. Ce qui a été dit {rP. ÏX.) 

 nous met en droit de fuppofer que les quantités fur 

 lefquelles il fera queftion d'opérer, ne contiennent 

 que àes /raclions. 



XIII. Addition. Les /raclions propofées étant préa- 

 lablement réduites à la même dénomination , faites 

 la fomme des numérateurs, & écrivez au-deflbus le 

 dénominateur commun. 



11 

 1 i* 



XIV. Souflraclion. Après avoir réduit /èparlment 

 les deux quantités propofées en une {evXo. /raclion 

 donnez aux àQux/raelions réfultantes un dénomina- 

 teur 



