F R A 



tem commun , & écrivez-le fous la différence des 

 numérateurs. 



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2 ! 4 ^1 



4. ~r Y 2 



i-I _ 2 — £^"~ H? — AL 



20 6 1 10 120 



11 

 60- 



s'a- 



(+) On voit par cette opération que lorfqu'i 



git d'additionner & de fouftraire des /raclions y on 

 peut les réduire à la même dénomination par la pre- 

 mière règle générale, lans s'embarraffer fi les déno- 

 minateurs ont un commun divifeur, ou non ; il fuf- 

 £ra de réduire à la plus fimple expreffion lafra&lon 

 unique qui fera le réfultat de la dernière opération. 



En effet qu'on ait, par exemple, à ajoûter — avec 



p , on peut écrire indifféremment —7^— , après 



avoir réduit au même dénominateur par la féconde 

 règle , ou en réduifant au même dénominateur par 



la première règle '-^'j^,-^' = iii^^£i, en rédui- 

 faut & divifant le haut Se le bas par g. 



XV. Multiplication & divifion. Nommant première 

 fraction celle qui repréfente le multiplicande ou le 

 dividende , & féconde fraction celle qui repréfente 

 le multiplicateur ou le divifeur, multipliez terme-à- 

 terme la première fraction par la féconde , direfte s'il 

 s'agit de multiplication, & renverfée s'il s'agit de 

 divifion. 



Le produit de \ x '^efff^. 



Le quotient de ^ divifé par i eft ^ x ^- = f^. 



Pour le démontrer, foit ^ — p, d'où a=ib p ; ^ 



j = q, d'où c =dq . Il faut faire voir que ^ 



= /^,&quef-^ = ^. 



Or , que dans le premier membre de ces deux der- 

 nières égalités, au lieu de & de c, on fubftitue 

 leurs valeurs èp & dq, on aura 



[d'une part .>^^=/;^X^ = /;^. 



I , cl dp P h d p 



[àz 1 autre \bdl — J ^ rd = q- 



XVI. Si , pour la divifion on a préféré le renver- 

 fement de la fraclion qui repréfente le divifeur à la 

 pratique ufitée de multiplier en croix , qui au fond 

 eft la même chofe ; c'eft que la règle préfentée fous 

 ce point de vue rend plus fenfiblement raifon d'une 

 efpece de paradoxe qui a coutume de frapper les 

 commençans. Il arrive fouvent dans la multiplica- 

 tion <kç.s fractions que le produit efi: plus petit que le 

 multiplicande , & au contraire dans leur divifion , 

 que le quotient eff plus grand que le dividende ; & 

 cela ne peut manquer d'arriver toutes les fois que 

 \^ fraction qui repréfente le multiplicateur ou le di- 

 vifeur eft plus petite que l'unité ; car alors fon nu- 

 mérateur eft plus petit que fon dénominateur. Quand 

 donc h fraction refte direûe dans la multiplication , 

 c'eft le plus petit terme qui multiplie la première 

 fraction , tandis que le plus grand la divife : cette pre- 

 mière /raffio/z doit donc être plus diminuée qu'aug- 

 mentée , & devenir plus petite. Quand au contraire 

 la fraction fe renverîe dans la divifion , c'eft le plus 

 grand terme qui multiplie la première /rac7io/z, tan- 

 dis que le plus petit la divife ; elle gagne donc plus 

 qu'elle ne perd, & doit devenir plus grande. 



XVII. Soit ~ à divifer par \ , le quotient fera 

 X 1^.== |- X 7 = ^. Ce qui fait voir que quand le di- 

 vidende & le divifeur ont un dénominateur com- 

 mun, on peut négliger celui-ci, & prendre pour 

 quotient des deux fractions celui même de leurs nu- 

 mérateurs. 



(+) C>n peut voir m mot Division des remar- 

 jom& VU, 



h d 



ques fur la divifion des fractions les unes par les au- 

 tres, ou des entiers par des frayions ; on y a expli- 

 qué très-clairement & à priori pourquoi un nombre 

 quelconque divifé par une fraBion, donne un quo- 

 tient plus grand que lui. On a vu aufti au mot Expo- 

 sant, comment la fraction 7 fe change en ^z'~^ 



a 



(+) On a prouvé au mot Diviseur (voyei ce 

 mot, & l'addition qu'on y a faite dans V errata du cin- 

 quième Foluma) , que fi deux nombres a, n'ont 

 aucun divifeur commun , & que deux autres nom- 

 bres d, n'ayent aucun divifeur commun entr'eux, 

 ni avec les deux premiers; alors dans le produit f^, 

 ac^bd n'auront aucun divifeur commun. De-là 

 il s'enfuit que fi \ eft une fraction réduite à fes 



moindres termes ; ^ , fi & en général fera 



aiifli une fraction réduite à fes moindres termes. 

 Donc une >^c7io/z, foit pure, foit mixte, élevée à 

 une puiffance quelconque, donne toûjours une frac- 

 tion; donc un nombre entier qui n'a point pour ra- 

 cine quarrée, cubique, &c. un nombre entier, ne 

 fauroit avoir une fraction (même mixte) pour raci- 

 ne ; donc la racine d'un tel nombre eft incommen- 

 furable. Voye^ Incommensurable. 



XVIII. C'eft à la multiplication qu'on doit rap- 

 peller la réduftion des fractions de fraBion, & non à 

 la divifion, comme au i^"^ coup-d'œil on pourroit 

 être tenté de le croire. Prendre en effet les ^ de ^, 

 n'eft- ce pas , ce me femble , divifer | par f ? Non \ 

 c'eft au contraire le multiplier, & l'on va en con- 

 venir. Si l'on n'avoit à prendre que le tiers de ^ il 

 faudroit (72°. VII.) multiplier le dénominateur^par 

 3 pour avoir ; mais c'eft les deux tiers qu'il s'agit 

 de prendre. Il faut donc doubler ce qu'on a trouvé, 

 c'eft-à-dire {ibidem.^ multiplier le numérateur par 2' 

 La féconde fraction f refte donc directe dans l'opéra- 

 tion , ce qui (72°. XV.) détermine celle-ci à être un© 

 multiplication. Donc fde| = yX| = ^ = -î-. 



Il fuit qu'ayant un nombre quelconque ^de frac- 

 tions de fraction , pourvu que ce qui étoit numéra- 

 teur refte numérateur , & que ce qui étoit dénomi- 

 nateur refte dénominateur , on peut d'ailleurs tranf- 

 pofer entr'elles les fractions , & échanger leurs ter- 

 mes comme on voudra , fans que la valeur de la 

 fuite en foit altérée , puifque les deux termes de la 

 fraction qui l'exprimera feront toûjours formés ref-, 

 pedivement des mêmes faâ:eurs. 

 Les ~ de ^ àe \ 



Les } de ^ de 4 C = liLlM = £ 



Les f de f de I i 

 &c. 



XIX. Elévation & extraction. Faites féparément 

 fur les deux termes de la fraction celle des deux 

 opérations qu'exige la circonftance , 6c elle fe trou- 

 vera faite fur la fraction elle-même. 



y/a 



n 



y'h" 



(-f ) XX. Fractions décimales. On a traité cette 

 matière ^zz^/;zor Décimal, auquel nous renvoyons. 

 Nous remarquerons feulement qu'au lieu du point 

 dont nous avons parlé dans cet article, & qui fert 

 à diftinguer les parties décimales des entiers, quelr 

 ques auteurs fe fervent d'une virgule ; ce qui re^, 

 vient au même , & ce qui eft quelquefois plus com- 

 mode , lorfqu'il eft à craindre que le point ne foit 

 pris pour un figne de multiplication. D'autres ont 

 employé une autre manière, mais moins commode : 

 par exemple, pour défigner 3 .0206, c'eft-à-dire 

 quatre parties décimales, ou ce qui revient au œê- 



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