îî s^agît èe le divîfer en ràifoil donnée par une ligne 

 iqui paffe par un point placé hors du fommet, foit 

 im l'un des côtés, foit au-dedans du triangle, foit 

 ati'dehors ; alors le problème eû un peu plus dilK- 

 cile ; mais la Géométrie, aidée de l'Analyfe, fournit 

 des moyens de le réfoudre. F'oyei dans € Application 

 d& C Algèbre à la Géométrie de M. Guifnée la folution 

 des problèmes du fécond degré , vous y trouverez 

 celui dont il s'agit. Il eft réfolu & expliqué fort en 

 détail ; & il fervira , comme on le va voir , à divi- 

 fer une figure quelconque en raifon donnée par une 

 îigne menée d'un point donné quelconque. 



Si le point par lequel paffe la ligne qui doit divi* 

 fer une figure quelconque en raifon donnée , eft fi- 

 tné au-dedans ou au-dehors de la figure > alors il eft 

 évident que le problème peut avoir pîufieurs folu*- 

 tions , au-moins dans un grand nombre de cas , & 

 quelquefois être impoffible. Pour le fentir,il fuffit 

 de remarquer que fi la figure , par exemple , efl ré- 

 gulière & d'un nombre pair de côtés , que le point 

 donné foit le centre , & qu'il faille divifer la figure 

 en deux parties égales , le problème eft indétermi- 

 né , puifque . toute ligne tirée par le centre réfoudra 

 ce problème ; que fi les deux parties doivent être 

 inégales , le problème eft impoflîble ; & que fi dans 

 ce dernier cas le point eft placé hors de la figure , 

 foit régulière , foit irréguHere , le problème a tou- 

 jours deux folutions , dont l'une s'exécutera par une 

 iigne tirée à droite j & l'autre à gauche , toutes deux 

 partant du point donné. Or menant du point donné 

 à tous les angles de la figure des lignes , qui prolon- 

 gées , s'il ell néceifaire , au-dedans de la figure , par- 

 tagent cette figure en quadrilatères , ce qui efi: tou- 

 jours poffible , on voit évidemment que , comme 

 la queftion s'efl réduite dans le premier cas à par- 

 tager un triangle en raifon donnée , par une ligne 

 qui parte d'un point donné ; de même la queflion fe 

 réduit ici , après avoir calculé féparément les fur- 

 faces de tous ces quadrilatères , à partager l'un d'eux 

 en raifon donnée par une ligne tirée du point don- 

 né. Il y a donc ici trois chofes à trouver, i*^. quel 

 efl le quadrilatère qu'il faut partager ; 2°. quelle eft 

 ia raifon fuivant laquelle il faut le partager; 3**. 

 comment on partage un quadrilatère en raifon don- 

 née par une ligne menée d'un point donné , qui fe 

 trouve au concours des deux côtés du quadrilatère. 

 Les deux premiers de ces problèmes fe réfoudront 

 par une méthode exaûement femblable à celle 

 qu'on a donnée ci-deffus, pour le cas de la divifion 

 ide la figure en triangles. Le troifieme demande un 

 calcul analytique fort fimple , & tout-à-fait ana- 

 logue à celui que M. Guifnée a employé pour réfou- 

 dre le même problème par rapport au triangle. Nous 

 y renvoyons le leûeur, afin de lui laifTer quelque 

 fujet de s'exercer à l'analyfe géométrique ; mais fi 

 l'on veut fe difpenfer de cette peine , on pourra ré- 

 duire le problème dont il s'agit , au cas de la divifion 

 du triangle^de la manière fuivante. On prolongera 

 les deux côtés du quadrilatère qui ne concourront 

 pas au point donné, & on formera un triangle exté- 

 rieur au quadrilatère qui aura un des autres côtés 

 du quadrilatère pour bafe , & qui fera avec le qua- 

 drilatère en raifon donnée de A à i , ^ étant un nom- ' 

 bre quelconque entier ou rompu. Cela pofé foient 

 pA^qAÏQS deux parties dans lefquelles il faut di- 

 vifer le qua^drilatere , il eil évident que le quadri- 

 latère total fera p A -\- q A ; que le triangle fera 

 k (j>A + qA), & que le triangle joint au quadrilatère 

 (ce qui formera un nouveau triangle qui aura le qua- 

 trième côté du quadrilatère pour bafe) , fera (k+i) 

 CpA + qA). Il s'agit donc, en menant une ligne 

 par le pomt donné, de divifer ce triangle en deux 

 parties, dont l'une {o'itk (pA + qA) ^ p A , &c 

 f autre qA; c'eft-àrdire que le problème fe réduit à 



GEO 



divlè'f im triangle connu & donné , eh deit?^ bàrtièS 

 qui foient entr'elles comme ^ + ^) /; efi: à ^ > 

 par une ligne qui pafle par un point donné horS du 

 triangle : or on a dit ci-defiiis comment on peut ré^ 

 foudre ce problèmcy 



Si le point donné eft plaêé dahs lâ figuré, ori nie* 

 nera par ce point à tous les angles de la figure , des 

 lignes terminées de part & d'autre à cette figure; 6c 

 on divifera par ce moyen la figure en triangles dont 

 chacun aura fon oppofé au fommet. Cela pofé, on 

 cherchera les aires de ces triangles & on aura lés 

 aires de chaque partie de la figure terminées par une 

 des lignes tirées du point donné ; lignes qu'on peu£ 

 appeller, quoiqu'improprement * diaf?ictres de Id fi>. 

 gure Connoifl'ant ces aires, on cherchera quels font 

 les deux diamètres voifins qui divifent la figure, l'un 

 en plus grande raifon , l'autre en plus petite ràifon 

 que la raiion donnée ; & par4à on faura que la ligne 

 cherchée doit paA^er dans l'angle formé par ces dtim 

 diamètres : & comme il peut y avoir pîufieurs dia- 

 mètres voifms qui divifent ainfi la figure , l'uh eii 

 plus grande raifon, l'autre en plus petite raifôn que 

 la raifon donnée , il s'enfuit que le problème aura 

 autant de folutions pofiibles qu'il y aura de tels dia^ 

 mètres. Cela pofé , foit A l'aire de la figure totale 5 

 P A 1 aire d'un des triangles formé par les deux dia^ 

 mètres voifins ; q A l'aire du triangle oppofé au fom- 

 met de celui-ci , & que je fuppofe lui être inférieur ; 

 m Al aire de la partie de la figure qui eû à droite de 

 ces deux triangles; nA l'aire de la partie qui eft à 

 gauche , on aura mA+pA^nA^qA pour l'aire 

 de la figure entière ; enforte que m-\~p^.n^q fe^ 

 ra = I , & il fera quefi:ion de mener entre les deux 

 diamètres donnés, & par le point donné où ces dia» 

 mètres fe coupent , une ligne qui divife les deux 

 triangles oppofés au fommet en deux parties ; fa voir 

 xA àcpA-xA, d'une part, ôc de l'autre#^ & 

 qA-'^A, & qui foient telles g^xq m A '\- p A - x A 

 + iA foit à nA-^qA-^iA^xA en raifon don- 

 née , par exemple de ^ à i , que nous fuppofons être 

 la raifon demandée. On aura donc, i^'m-i^p^x 

 -jri: ^ + q-l-\-x::s. i; CQ qui donnera une pre- 

 mière équation entre xS>ci: or comme les triangles 

 xA & font oppofés au fommet , & font partie 

 des triangles donnés & aufli oppofés au fommet/;^ 

 OC '? A, on trouvera facilement une autre équation 

 générale entre xjc^, puKqucxA étant connue, 

 ^ .^le fera necefi^irement; c'eft pourquoi on aura 

 cieux équations en x & en ^ , par le moven defcfuel- 

 es on trouvera , & il ne s'agira plus que de divifer 

 la bafe du triangle/ A en raifon dcxkpjcQ qui don- 

 nera la folution complète du problème. 



S'il failoit divifer une figure en raifon donnée, pat 

 une ligne qui ne pafi-ât pas par un point donné , mais 

 qui fut parallèle à une ligne donnée , on commence- 

 roit par divifer la figure en trapézoïdes , par des li- 

 gnes menées de tous les angles de cette figure , pa- 

 rallèlement à la ligne donnée , & il eft évidenf qu'il 

 ne s-agiroit plus que de divifer en raifon donnée un 

 de ces trapezoïdes , ce qui feroit très-facile- 



Voilà la méthode générale pour divifer une figure 

 en raifon donnée, méthode qui réufiira infaillible- 

 ment dans tous les cas; mais cette méthode peut 

 être abrégée en pîufieurs occafions , félon la nature 

 de la figure propofee. Ceux qui voudront en trouver 

 des exemples , n'auront qu'à lire le traité de Géomé^ 

 trie fur U terrein, de M. le Clerc, imprimé à la fuite 

 de fa Géométrie pratique, oxx pratique de la G éométri& 

 Jur le papier & fur le terrein, par le même auteur Ils 

 trouveront dans le chap. v, de ce traité de Géométrie, 

 des pratiques abrégées pour divifer dans pîufieurs 

 cas les figures données en différentes parties Ce 

 chap V, a pour titre, divifion des plans i le chap. fv 

 qu^ le précède j ^ qui mérite auffi d'être lû , a pour 



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