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Ces petites 'obrervations ne feront pas mutiles 

 pour donner aux; commençans des notions diflinÛes 

 fur la mefure des angles , & pour leur faire fentir , 

 ainli que nous l'avons dit au mot ÉlÉmens , quel efl 

 le véritable fens qu'on doit donner à certaines fa- 

 çons de parler abrégées dont on fe fert dans chaque 

 fcience, & que les inventeurs ont imaginées pour 

 éviter les circonlocutions. 



La propofition très-fimple fur la mefure des an- 

 gles par un arc décrit de leur fommet, étant jointe au 

 principe de la fuperpofition , peut fervir , fi je ne 

 me trompe , à démontrer toutes les propofitions qui 

 ont rapport à la Géométrie élémentaire des lignes. Le 

 principe de la fuperpofition n'efl: point , comme le 

 difent quelques géomètres modernes , un principe 

 méchanique & grofiier ; c'efi un principe rigoureux, 

 clair, fimple, & tiré de la vraie nature de la chofe. 

 Quand on veut démontrer, par exemple, que deux 

 triangles qui ont des bafes égales & les angles à la 

 bafe égaux, font égaux en tout, on employé le prin- 

 cipe de fuperpofition avec fuccès ; de l'égalité fup- 

 pofée des bafes & des angles, on conclut avec raifon 

 que ces bafes & ces angles appliqués les uns fur les 

 autres, coïncideront; enfuite de la coïncidence de 

 ces parties , on conclut évidemment & par une con- 

 féquence nécefiTaire , la coïncidence du refie , & par 

 conféquent l'égalité & lafimilitude parfaite des deux 

 triangles : ainfi le principe de la fuperpofition ne 

 confifte pas à appliquer groffierement une figure fur 

 ime autre 5 pour en conclure l'égalité des deux, com- 

 me un ouvrier applique fon pié fur une longueur 

 pour la mefurer : mais ce principe confifte à imagi- 

 ner une figure tranfportée fur une autre , & à con- 

 clure, i'^. de l'égalité fuppofée des parties données, 

 la coïncidence de ces parties ; 2°. de cette coïnci- 

 dence, la coïncidence du refte , & par conféquent 

 l'égalité totale & la fimilitude parfaite des deux fi- 

 gures. On peut, par la même raifon , employer le 

 principe de la fuperpofition à prouver que deux fi- 

 gures ne font pas les mêmes. Au refte , par fuperpo- 

 fition j'entens ici non-feulement l'application d'une 

 figure fur une autre , mais celle d'une partie , d'une 

 figure fur une autre partie de la même figure , à def- 

 fein de les comparer emre elles ; & cette dernière 

 manière d'employer Ictprincipe de la fiiperpofition, 

 eft d'un ufage infini & très-fimple dans les élémens 

 de Géométrie, /^oje^ CONGRUENCE. 



Après avoir traité de la géométrie des lignes con- 

 fidérées par rapport à leur pofition, je crois qu'on 

 doit traiter de la géométrie des lignes confidérées 

 quant au rapport qu'elles peuvent avoir entr'elles. 

 Elle eft toute fondée fur ce théorème qu'une ligne 

 parallèle à la bafe d'un triangle en coupe les côtés 

 proportionnellement. Pour cela il fufiit de montrer 

 que fi cette parallèle pafie par le point de milieu 

 d'un des côtés , elle paiTera par le point de mifieu de 

 l'autre ; car on fera voir enfiiite aifément que les 

 parties coupées font toujours proportionnelles ^ 

 quand la partie coupée fera commenfurable à la li- 

 gne entière ; & quand elle ne le fera pas , on démon- 

 trera là même propofition par la réduûion à l'ab- 

 furde , enfaifant voir que le rapport ne peut être ni 

 plus grand, ni plus petit , & qu'ainfi il eft égal. Nous 

 difons par la réduBion à râbfurdç , car on ne peut 

 démontrer que de cette maruere, & non d'une ma- 

 nière direâe , la plupart des propofitions qui regar- 

 dent les incommenfurables. L'idée de l'Infini entre 

 au-moins implicitement dans la notion de ces fortes 

 de quantités ; &: comme nous n'avons qu'une idée 

 négative de l'infini , c'eft- à-dire que nous ne le con- 

 cevons que par la négation du fini , on ne peut dé- 

 montrer direftément & à priori tout ce qui concerne 

 l'infini mathématique. Foye:^ DÉMONSTRATION , 



Infini^ <^ Inçomm£NSURA£Lï:, Nqus ne faifons 



GEO 



qu^indiquer ce genre de démonftratiort ; mais il y Qû t 

 tant d'exemples dans les ouvrages de Géométrie, quê 

 les mathématiciens tant-foit-peu exercés nous com- 

 prendront aifément. Pour éviter la difficulté des in- 

 commenfurables , on démontre ordinairement la pro- 

 pofition dont il s'agit, en fuppofant que deux triangles 

 de même hauteur font entr'eux comme leurs baïes^ 

 Mais cette dernière propofition elle-même, pour 

 être démontrée en rigueur, fuppofe qu'on ait parlé 

 des incommenfurables. D'ailleurs elle fuppofe la me- 

 fure des triangles , & par conféquent la géométrie des 

 furfaces , qui eft d'un ordre fupérieur à la géométrie 

 des lignes. C'eft donc s'écarter de la généalogie na- 

 turelle des idées , que de s'y prendre ainfi. On dira 

 peut-être que la confidération des incommenfura- 

 bles rendra la géométrie élémentaire plus difficile , 

 cela fe peut ; mais ils entrent nécefl'airement dans 

 cette géométrie ; il faut y venir tôt ou tard , ôc le 

 plutôt eft le mieux, d'autant plus que la théorie des 

 proportions des lignes amené naturellement cette 

 confidération : Toute la théorie des incommenfura- 

 bles ne demande qu'une feule propofition , qui con- 

 cerne les limites des quantités ; favoir que les gran- 

 deurs qui font la limite d'une même grandeur, ou 

 les grandeurs qui ont une même limite, font égales 

 entr'elles {yoyei Limite , Exhaustion , & Diffé- 

 rentiel) ; principe d'un ufage univerfel en Géomé" 

 tric , Se qui par conféquent doit entrer dans les élé- 

 mens de cette fcience , 6l s'y trouver prefque dès 

 l'entrée. 



La géométrie des furfaces fe réduit à leur mefure ; 

 & cette mefure eft fondée fur un feul principe, celui 

 de la mefure du parallélogramme reftangle qu'on fait 

 être le produit de fa hauteur par fa bafe. Nous avons 

 expliqué à la fin du /^oif Equation ce que cela fi- 

 gnifie, & la manière dont cette propofition doit êtr© 

 énoncée dans des élémens , pour ne laifTer dans l'ef- 

 prit aucun nuage. De la mefure du parallélogramme 

 reftangle fe tire celle des autres parallélogrammes,' 

 celle des triangles qui en font la moitié, comme le 

 principe de la fuperpofition peut le faire voir; enfin 

 celle de toutes les figures planes redilignes , qui peu- 

 vent être regardées comme compofées de triangles-' 

 A l'égard de la mefure du cercle , le principe des li- 

 mites ou d'exhauftion fervira à la trouver. Il fufïïra 

 pour cela de faire voir que le produit de la circon- 

 férence par la moitié du rayon eft la limite de l'aire 

 des polygones infcrits & circonfcrits ; & comme 

 l'aire du cercle eft aufïï évidemment cette limite, 

 il s'enfuit que l'aire du cercle eft le produit de la 

 circonférence par la moitié du rayon , ou du rayon 

 par la moitié de la circonférence, /^oj^e^ Cercle <S», 

 Quadrature. 



On peut rapprocher la théorie de la propo^tiorf 

 des lignes de la théorie des furfates par ce théorè- 

 me, que quand quatre lignes font proportionnelles,' 

 le produit des extrêmes eft égal au produit des 

 moyennes; théorème qu'on 'peut démontrer par la 

 Géométrie fans aucun calcul algébrique ; car le cal- 

 cul algébrique ne facilite en rien les élémens de Geo* 

 métrie , & par conféquent ne doit pas y entrer. En 

 rapprochant la théorie des proportions de celle des 

 furfaces , on peut faire voii-eomment ces deux théo- 

 ries prifes féparément s'accordent à démontrer dif- 

 férentes propofitions , par exemple , celle du quarré 

 de l'hypothénufe. Cen'eft pas une chofe auffi inu-- 

 tile qu'on pourroit le penfer, de démontrer ainâ 

 de différentes manières dans des élémens de Gèomé^ 

 trie certaines propofitions principales ; par ce moyen 

 l'efprit s'étend & fe fortifie en voyant de quelle ma-^ 

 niere on fait rentrer les. vérités les unes dans ; les ' 

 autres. , _ : ; ■ . . 



Dans la géométrie ^es folides on fuivra la même 

 méthode que dans celle des furfaces : on réduiraitonî 



