à là. metnre ûn parallélépipède reûangîe ; ïà fettïc 

 «difficulté ie réduira à prouver qu'une pyramide eft 

 le tiers d'un paralieiépipede de même bdlé & de mê- 

 me hauteur. Pour cela on fera voir d'abord ^ ce qui 

 eft très-faciie par la méthode d'exhauftion , que les 

 pyramides de même bafe 6c de même hauteur font 

 égales ; enfuite , ce qui fe peut faire de différentes 

 manières , comme on le peut voir dans divers éié- 

 mens de Géométrie , on prouvera qu'une certaine py- 

 ramide déterminée eft le tiers d'un prifme de même 

 bafe &: de même hauteiu- ; &: il ne reftera plus de 

 difficulté. Par ce moyen on aura la mefure de tous 

 les folides terminés par des figures planes. Il ne ref- 

 tera plus qu'à appliquer à la lurface & à la folidité 

 de la fphere les propofitions trouvées fur la mefure 

 des furfaées & des*folides ; c'eft dequoi on viendra 

 aifément à-bout par la méthode d'exhauftion , com- 

 me on a fait pour la mefure du cercle; peut -être 

 même pourroit-on , pour plus d'ordre & de métho- 

 de , traiter de la furface fphérique dans la géométrie 

 des furfaces. 



Nous ne devons pas oublier ici une obfervation 

 importante. Le principe de la méthode d'eshauftion 

 eft fimple (wj^^ Exhaustion) ; mais fon applica- 

 tion peut quelquefois rendre les démonftrations lon- 

 gues &; compliquées. Ainfi il ne feroit peut-être pas 

 mal-à-propos de fubfl-ituer le principe des infiniment 

 petits à celui d'exhauftion , après avoir montré l'i- 

 dentité de ces deux principes , & avoir remarqué 

 que le premier n'eft qu'une façon abrégée d'expri- 

 mer le fécond; car c'eft en effet tout ce qu'il eft, 

 n'y ayant dans la nature ni infinis aûuels , ni infi- 

 niment petits. Foyei Infini, Différentiel, Ex- 

 HAUSTiON , & Limite. Par ce moyen la facilité des 

 démonftrations fera plus grande, fans que la rigueur 

 y perde rien. 



Voilà , ce me femble , le plan qu'on peut fuivre en 

 traitant de la géométrie élémentaire. Ce plan, & les ré- 

 flexions généralesquenous avons faites à la fin du mot 

 Elémens des Sciences, fuffifent pour faire fen- 

 tir qu'il n'y a aucun géomètre au-deffus d'une pa- 

 reille entreprife ; qu'elle ne peut même être bien 

 exécutée que par des mathématiciens du premier 

 ordre ; & qu'enfin pour faire d'excellens élémens de 

 Géométrie , Defcarîes , Newton , Leibniîz , Bernoulli , 

 &c. n'euifent pas été de trop. Cependant il n'y a 

 peut-être pas de fcience fur laquelle on ait tant mul- 

 tiplié les élémens , fans compter ceux que l'on nous 

 donnera fans doute encore. Ces élémens font pour 

 la plupart l'ouvrage de mathématiciens médiocres , 

 dont les connoifTances en Géométrie ne vont pas fou- 

 vent au-delà de leur livre , & qui par cela même 

 font incapables de bien traiter cette matière. Ajou- 

 tons qu'il n'y a prefque pas d'auteur d'élémens de 

 Géométrie , qui dans fa préface ne dife plus ou moins 

 de mal de tous ceux qui l'ont précédé. Un ouvrage 

 en ce genre , qui feroit au gré de tout le monde , eft 

 encore à faire ; mais c'eft peut-être une entreprife 

 chimérique que de croire pouvoir faire au gré de 

 tout le monde un pareil ouvrage. Tous ceux qui étu- 

 dient l^. Géométrie ne l'étudient pas dans les mêmes 

 Irùes : les uns veulentfe borner à la pratique ; & pour 

 ceux, là un bon traité de géométrie-pratique fuffît , en 

 y joignant , iî. l'on veut , quelques raifonnemens qui 

 éclairent les opérations jufqu'à un certain point, & 

 qui les empêchent d'êtfe bornées à une aveugle 

 routine: d'autres veulent avoir une teinture- de ^eo- 

 métrie élémentaire fpéculative, fans prétendre pouf- 

 fer cette étude plus loin; pour ceux-là il n'eft pas 

 néceffaire de mettre une fi ^"ande rigueur dans les 

 élémens ; on peut fuppofer comme vraies plufieurs 

 propofitions, dont la vérité s'apperçoit affez d'elle- 

 même , & qu'on démontre dans les élémens ordi- 

 paires. Il eft enfin des étudians qui n'gnt pas la 



GEO %r 



force d^efprît nécefl^aire pour embrafTer à-îâ-fbîs Ie§ 

 différentes branches d'une dénlonftration compli^^ 

 quée ; & il faut à ceux-là des démonftrations plus 

 faciles, dûffent- elles être moins rigoureufes. Mais 

 pour les efprits vraiment proprés à cette fcience, 

 pour ceux qui font deftinés à y faire des progrès , 

 nous croyons qu'il n'y a qu'une feule manière de 

 tfaiter les élémens; c'eft celle qui joindra la rigueur 

 à la netteté , & qui en même tems mettra fur la voie 

 des découvertes par la manière dont on y préfen-» 

 tera les démonftrations. Pour cela il faut les mon- 

 trer, autant qu'il eft poftible, fous la forme de pro* 

 blêmes à réfoudré plutôt que de théorèmes à prou*- 

 ver, pourvu que d'un autre côté cette méthode ne 

 nuife point à la généalogie naturelle des idées &: 

 des propofitions , & qu'elle n'engage pas à fuppofer 

 comme vrai , ce qui en rigueur géométrique a be- 

 foin de preuve. 



Oii a vu au mot AxiOME de quelle inutilité ces 

 fortes de principes font dans toutes les Sciences ; il 

 eft donc très-à-propos de les fupprimer dans des élé*- 

 mens de Géométrie , quoiqu'il n'y en ait prefque point 

 ou on ne les voye paroître encore. Quel befoin a- 

 t-on des axiomes fur le tout & iur la partie , pour 

 voir que la moitié d'une ligne eft plus petite que la 

 ligne entière ? A l'égard des définitions , quelque né- 

 ceflaires qu'elles foient dans un pareil ouvrage , il 

 nous paroit peu philofopbique & peu conforme à la 

 marche naturelle de relprit de les préfenter d'abord 

 brufquement & fans Une efpece d'analyfe ; de dire> 

 par exemple , la Jurfacc efi Vextrémité d'un corps , la^ 

 quelle n'a aucune profondeur. Il vaut mieux confi- 

 dérer d'abord le corps tel qu'il eft , & montrer com-^ 

 ment par des abftradions fuccefftves on en vient à 

 le regarder comme ftmplement étendu & figuré, 

 par de nouvelles abftradions à y confidérer fuccef- 

 fivement la furface, la ligne, & le point. Ajoûtons 

 ici qu'il fe trouve des occafions , finon dans des élé- 

 mens, au-moins dans un cours complet de Géomé- 

 trie , oii certaines définitions ne peuvent être bien 

 placées qu'après l'analyfe de leur objet, Croit -on, 

 par exem.ple , qu'une fimple définition de l'Algèbre 

 en donnera l'idée à celui qui ignore cette fcience 

 Il feroit donc à-propos de commencer un traité d'Al" 

 gebre par expliquer clairement la marche , fuivant 

 laquelle l'efprit eft parvenu ou peut parvenir à en 

 trouver les règles ; & on fîniroit ainfi l'ouvrage , la. 

 fcience que nous venons dUnfeigner efî ce quon appelU 

 Algèbre. Il en eft de même de l'appHcation de l'AU 

 gebre à la Géométrie, & du calcul différentiel & in- 

 tégral , dont on ne peut bien faifir la vraie défini- 

 tion , qu'après en avoir compris la métaphyfique 6^ 

 l'ufage. 



Revenons aux élémens de Géométrie. Un incon- 

 vénient peut-être plus grand que celui de s'écartei* 

 de la rigueur exaûe que nous y recommandons , fe- 

 roit l'entreprife chimérique de vouloir y chercher 

 une rigueur imaginaire. Il faut y fuppofer l'étendue 

 telle que tous les hommes la conçoivent, fans fe 

 mettre en peine des difficultés des fophiftes fur l'idée 

 que nous nous en formons , comme on fuppofe en 

 méchanique le mouvement , fans répondre aux ob- 

 jedions de Zenon d'Elée. Il faut fuppofer par abftrac- 

 tion les furfaces planes & les lignes droites , fans fe 

 mettre en peine d'en prouver l'exiftence, & ne pas 

 imiter un géomètre moderne , qui par la feule idée 

 d'un fil tendu croit pouvoir démontrer les proprié- 

 tés de la ligne droite, indépendamment du plan , &C 

 qui ne fe permet pas cette hypotlièfe, qu'on peut 

 imaginer une ligne droite menée d'un point à un au- 

 tre fur une furface plane ; comme fi l'idée d'un fil 

 tendu , pour repréfenter une ligne droite , étoit plus 

 fimple & plus rigoureufe que l'hypothèfe en quef- 

 tion j ou plùtôt comme fi cette idée n'ayoit pas i'in^ 



