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convénient de^epréfenter par une image phyfique 

 groffiere & imparfaite une hypothèfe abflraite & 

 mathématique. 



Géométrie tranfcmddntc ou des courbes. Cette Géo- 

 métrie fupçofe le calcul algébrique, ^oyc^^ Algèbre 

 & Mathématiques. On doit la commencer par 

 la folution des problèmes du fécond degré au moyen 

 de la ligne droite & du cercle ; & cette théorie peut 

 produire beaucoup de remarques importantes & cu- 

 rieufes fur les racines pofttives & négatives , fur la 

 pofition des lignes qui les expriment, fur les diffé- 

 rentes folutions dont un problème eft fufceptible. 

 Foyei au wo; EQUATION la plupart de ces remar- 

 ques, qui ne fe trouvent pas dans les traités de Géo- 

 métrie ordinaires; voyt^aiijjî Racine. On pafTera 

 de-là aux feûions coniques ; la meilleure manière & 

 la plus courte de les traiter dans un ouvrage de Géo- 

 métrie (qui ne fe borne pas à cette feule matière) , 

 eft , ce me femble , d'employer la méthode analyti- 

 que que nous avons indiquée à la fin de Varticle Co- 

 nique, de les regarder comme des courbes du pre- 

 mier genre ou lignes du fécond ordre, & de les di- 

 vifer en efpeces, fuivant ce qui en a été dit à l'arti- 

 cle cité & au mot CoURBE. Quand on aura trouvé 

 l'équation la plus limple de la parabole , celle de 

 i*ellipfe , &c celle de l'hyperbole , on fera voir en- 

 fuite très - aifément que ces courbes s'engendrent 

 dans le cone, & de quelle manière elles s'y engen- 

 drent. Cette formation des ferions coniques dans le 

 cone feroit peut-être la m.amere dont on devroit les 

 envifager d'abord , fi on fe bornoit à faire un traité 

 de ces courbes ; mais elles doivent entrer dans un 

 cours de Géométrie fous un point de vue plus général. 

 On terminera le traité des ferions coniques par la 

 folution des problèmes du troifieme & du quatriè- 

 me degré , au moyen de ces courbes ; fur quoi voyei 

 Construction & Equation. 



La théorie des ferions coniques doit être précé- 

 dée d'un traité , qui contiendra les principes géné- 

 raux de l'application de l'Algèbre aux lignes cour- 

 bes. F'oyei Courbe. Ces principes généraux confif- 

 teront, i°. à expliquer comment on repréfente par 

 une équation le rapport des abfcifTes aux ordonnées ; 

 z^. comment la réfolution de cette équation fait con- 

 lîoître le cours de la courbe , fes différentes branches 

 & fes afymptotes ; 3°. à donner la manière de trou- 

 ver par le calcul différentiel les tangentes Se les 

 points de maximum & de minimum ; 4°. à enfeigner 

 comment on trouve l'aire des courbes par le calcul 

 intégral : par conféquent ce traité contiendra les rè- 

 gles du calcul différentiel &: intégral, au-moins cel- 

 les qui peuvent être utiles pour abréger un traité des 

 ferions coniques. Quelques géomètres fe récrieront 

 peut-être ici fur l'emploi que nous voulons faire de 

 ces calculs dans une matière oh l'on peut s'en paf- 

 fer ; mais nous les renvoyerons à ce que nous avons 

 dit iar ce fujet au mot Ellipse ^pa^. 61 y & S 18. du 

 tome V. Nous y avons fait voir par des exemples 

 combien ces calculs font commodes pour abréger 

 les démonftrations & les folutions , & pour réduire 

 à quelques lignes ce qui autrement occuperoit des 

 volumes. Nous avons d'ailleurs donné au mot Dif- 

 férentiel la métaphyfique très-fimple & très-lu- 

 mineufe des nouveaux calculs ; & quand on aura 

 bien expliqué cette métaphyfique, ainfi que celle 

 de l'infini géométrique (voye^ Infini ) , on pourra 

 fe fervir des termes à^infiniment petit infini j pour 

 abréger les expreffions & les démonftrations. 



En traitant de l'application de l'Algèbre aux cour- 

 bes , on ne les repréfente guère que par l'équation 

 entre les coordonnées parallèles ; mais il efl encore 

 d'autres formes , quoique moins ufitées , à donner à 

 leur équation. On peut la fuppofer, par exemple, 

 -jgntre les raypcsi de cQmbe qui pqytent d'iyi cen- 



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tfe , & les àbfcîlTes ou les ordonnées corrérpondàrî* 

 tes ; comme aufS entre ces rayons, & la tangente ^ 

 le finus ou la fécante de l'angle qu'ils forment aveû 

 les abfciffes ou les ordonnées ; on en voit des exem^ 

 pies au mot Ellipse. Toutes ces équations dans les 

 courbes géométriques font finies & algébriques ; 

 mais il en eft quelquefois qui fe préfentent ou qui 

 peuvent fe préfenter fous une forme différentielle ; 

 ce font celles, par exemple, dans lefquelles un des 

 membres eft la difiérentielle de l'angle formé par le 

 rayon & l'abfciffe , & l'autre eft une différentielle de 

 quelque fondion de l'abfciffe ou du rayon , rédufti- 

 ble à un arc de cercle. Par exemple , fi j'avois cette 



équation d i — • , ^ étant l'angle entre le 



Va a — X X 



rayon & l'abfciffe, x le rayon a la valeur du 

 rayon quand { == o , il eft évident que la courbe 



eft géométrique. Car eft la différentielle 



Va a — X X 



d'un angle dont le cofinus eft at, & le rayon a (voyè^ 

 Cosinus); donc cofinus or, fi on nomme 

 « & j les abfciffes & ordonnées redangles , on 



aura u u -{-y y =. x x; x = Vu u -{-yy; & cofin.;^ 



u 



= ^— • C'eft pourquoi l'équation différentielle 



- dx . , . . , 



d 1=: ' , qui paroit ne pouvoir être intë- 



grée que par des arcs de cercle , donnera l'équation 



. — a u 



en coordonnées reftangles Vu u-{-y y =. 



vitu y y 



qui eft l'équation d'un cercle dont les coordonnées 

 ont leur origine à la circonférence. Il en eft de mê- 

 me de plufieurs autres cas femblables. 



Ces fortes d'équations méritent qu'on en faffe une 

 mention expreffe dans la Géométrie tranfcendante , 

 d'autant qu'elles font très-utiles dans la théorie des 

 trajectoires ou courbes décrites par des projeftiles, 

 voyei Trajectoire , &: par conféquent dans la 

 théorie des orbites des planètes , voye^ Ellipse , 

 Kepler {loi de^ , Planète , & Orbite. Foye^ au£i 

 dans les mém, de Vacad, des Sciences pour Vannée lyi o. 

 un mémoire de M. Bernoulli fur ce dernier fujet. 



Les ferions coniques achevées , on paffera aux 

 courbes d'un genre fupérieur ; on donnera d'abord 

 la théorie des points multiples , des points d'infle- 

 xion, des points de rebrouffement & de ferpente-, 

 ment. Voyei^ Point multiple. Inflexion, Re- 

 broussement,Serpentement, &c. Ces théories 

 font fondées en partie fur le calcul algébrique fim- 

 ple , en partie & prefque en entier fur le calcul dif- 

 férentiel; ce n'eft pas que ce dernier calcul y foit 

 abfolument néceflaire ; mais , quoi qu'on en puiffe 

 dire, il abrège & facilite extrêmement toute cette 

 théorie. On n'oubliera pas la théorie fi belle & il 

 fimple des développées & des cauftiques. Voye^^ DÉ-. 

 veloppée, Caustique, OscuLATEUR, (S'c.Noua. 

 ne pouvons & nous ne faifons qu'indiquer ici ces dif- 

 férens objets, dont plufieurs ont déjà été traités dans 

 l'Encyclopédie , & les autres le feront à leurs arti- 

 cles particuliers. Fojk^^; Tangente, Maximum y 

 &CC. On entrera enfuite dans le détail des. courbes 

 des différens ordres , dont on donnera les claffes , les 

 efpeces , & les propriétés principales. F oye^ Cour- 

 be. A l'égard de la quadrature & de la reûifîcation dç 

 ces fortes de courbes, Se même de la redificatioa 

 des feâtions coniques , on la remettra à la Géométrist 

 fublime. . 



Au refte, en traitant les courbes géométriques, 

 I QH pourra., s'étendre un peu. plus particulièrement^ 



