Die vorliegende Abhandlung sucht die Kongruenzen dritten und vierten Grades 

 mittels gewisser Zahlkörper aufzulösen, wozu man leicht beim praktischen Rechnen 

 geführt wird, während doch eine darauf begründete systematische Durchführung 

 oder nur Andeutung einer rechnerischen Durchführung meines Wissens nicht in 

 der Literatur vorHegt. Das Neue ist also in der Behaudlungsweise des Problems 

 zu suchen, wodurch die Kongruenzen dritten und vierten Grades zuletzt zu bi- 

 nomischen Kongruenzen in gewissen Zahlkörpern reduziert und dann nach Analogie 

 mit modifizierten Methoden der Auflösung gewöhnlicher binomischen Kongruenzen 

 gelöst werden können, wie diese beispielsweise in Acta Math. Bd 35 von C. Posse 

 es werden, oder noch besser: die Einzelheiten dieser Ausführung hoffe ich in 

 wenigstens neuem Gewände präsentiert zu haben. 



Die vorliegende Untersuchung wünscht also mit so elementaren Mitteln wie 

 möglich eine systematische Methode zu geben, um Kongruenzen vom dritten und 

 vierten Grade nach (mod^^), wo p Primzahl ist, aufzulösen. Weil die Kriterien der 

 Lösbarkeit zum Teil in das Gebiet der Zahlkörper fallen, aber doch nicht ein tieferes 

 Eindringen in diese Theorie nötig ist, habe ich elementare Beweise einiger ein- 

 fachen Sätze, die für das Formulieren notwendige und hinreichende Bedingungen 

 einer Lösung (mod^) nötig waren, vorausgeschickt. Weil dazu die Darlegung, wie 

 gesagt, so elementar wie möglich zu werden strebt, sind mehrere bekannte Tat- 

 sachen wie beispielsweise die Teilbarkeit der >S'„i(a:)-Funktionen etc. mit eignen Me- 

 thoden, die ja möglicherweise auch auf Probleme aus anderen und naheliegenden 

 Gebieten Anwendung haben können, durchgeführt worden. In Betreff der Aus- 

 führung der kubischen Körper so sind diese so behandelt worden, dass die Ver- 

 allgemeinerung zu höheren Körpern auf der Hand liegt. 



Der erste Teil fängt also mit folgenden einfachen Sätzen an. 



Satz I. Sind und zwei Zahlen im Körper K (\/ A), wo = — 1 ist, 



so kann . a^ = 0 (p) für = + h^\/^ A und = -|- b^V^A , a., ^ 0 {p) nur 

 so erfüllt werden, dass a^ = a^-\- b^\^A = 0 [p) d. h. a^ = bj^ = 0 {p) wird, denn aus 



ist Legendre's Symbol. 



