4 



A. Arwin 



{a, + hyA) (a,i-byA) = 0 {p) 



folgt 



f'i«2 + Ab^b^ = 0 ^ 

 für deren Lösbarkeit a^'' — 4ij- = 0 (^;) d. h. weil ( ^) = — 1 ist, = fe^ :z: 0 {p) 



nötig ist. Daraus folgt dann auch, dass für ^ 0 (i;) notwendig auch ajKg = 0 

 wird, und wenn und ^ 0 {p) ausfallen, so ist auch oi^a^ ^ 0 {])). 



Satz II. Sind ... at, im Körper K{\/A) inkongruente Zahlen, so kann das 

 Produkt (c.^ — a^)...(a6 — a^) nur so kongruent null werden, dass = a^j^ {p) gilt, 

 da a.^ in der Reihe a.b sich vorfiudet, denn aus (a^ — a^) ... (a^ — aj = 0 {p) folgt 

 nach dem vorigen Satze, dass eine von den Gleichungen 



(^•1 — ^-x) ■•• K — aj = 0 

 (1) ip) 



— «t) • • • i^-b — = 0 



gilt. Nicht beide, denn setzen wir = x und eliminieren x mittels Resultant- 

 bildung, so ergäbe sich ^(y-^ — c/.^)=0 {p), was der obengenannten Annahme 

 über die a^^ widerspricht. Es kann also nur irgend eine von (I) kongruent null 

 (mod^) ausfallen, und das Fortsetzen desselben Verfahrens ergibt endlich a^ = aj^ 

 [p), wo a-^ unter den a,. liegt. 



Sat0 III. Eine Kongruenz 



X™ + ßi^c"'-' + ... = 0 (p) 



kann in K^Ä), wo = — 1 ist, nicht mehr Wurzeln haben als der Grad 



angibt, denn angenommen, dass a, ... a,n (mod 79) inkongruente Lösungen sind und 

 zukäme, dann wäre nach Satz II a^ = ay [p), da a-/ sich unter den a,„ vorfindet. 

 Safs IV. Jede Zahl a.^ zur Potenz 7;" — 1 erhoben gibt a^^~^=\ (modp), 

 denn aus a,. = a„ -]- b,\ ' A (7;) folgt 



p-i 



< = < + ' . = a,,, - b.VÄ [p] 



d. h. 

 also 



OL 



= 1 (mod 2)) 



Satz V. Die Kongruenz 

 (2) 2P'~^=l (modp) 



hat p^ — 1 (modjj) inkongruente Lösungen, denn es gibt j)' — 1 zu einander (modp) 

 inkongruente Zahlen, die alle (2) satisfizieren. Nach dem Satze III kann sie auch 

 nicht andere haben. 



