Kongruenzen von dem dritten und vierten Grade etz. 5 



Safz VI. Es existieren primitive Wurzeln zum Exponente — 1, denn die 

 bekannte Relation — 1 = ï'f (m), wo f die Eulersche, zahlentheoretische Funktion 

 ist und die Summation über die Teiler in p'^ — 1 ausgeführt wird, kann nur so 

 erfüllt sein, dass p'^ — 1 selbst unter den m vorkommt, d. h. dass in der Tat 'f (p' — 1) 

 primitive Wurzeln existieren müssen, denn mit Epi-\ sind auch alle Ejß^iin = (), 1 

 etc. für alle rp(2J^ — 1) zu jj'' — 1 relativ prime Zahlen m primitive Wurzeln, und 

 aus Epl-i = Ep2^x [p] für m Teiler in p- — 1 folgt, dass Ept.^i eine primitive Wurzel 



m m 



— 1 



zu dem Exponenten gehörig ist. 



^ m 



Es sei jetzt eine Kongruenz = a,, [p] vorgelegt, n der grösste gemeinsame 



p-'-i 



Teiler von m und p'^ — 1 und c/.„ " = 1 [p)^ so folgt a;" = a,,, = E^-.^i [p] s = \ oder 



n 



p'i 1 _ n s ■ 



2, . . . Weil aber x'" = Ep2'^i (p) immer lösbar ist, so folgt, dass die Bedingung 



a„ " =1 (p) notwendig und hinreichend wird um = a„ [p) lösbar zu machen. 

 Hat man eine Lösung gefunden, dann werden die übrigen mittels Multiplikation 

 mit den Einheiten = 1 [p) gegeben. 



Jetzt lässt sich die Lösung der Kongruenz 



3ax -\- bi^O (p) (3) 



in folgender Weise diskutieren. Setzt man x = m -\-n so ergibt sich 



tn^ + n-^ = — h 



ip) (4) 



mn = — a 



d. h. 



{2in' + 6)2 = in' + h- {p) (5) 

 Sei R = 4:a'^ -\- Ir und l) = — 27 (4rr' + 6''), so erhält man für p = 6n 1 a-us 



{^h-' (^') ^-'^ ""^ ^ ~ ' i^)^^' [p] ^ + 



2) — 6n -\r 1 und L,, ) = + 1 kann die Lösung von (o) in K(l) d. h. im Körper 



der ganzen Zahlen mittels Autlösen binomischer Gleichungen gewonnen werden, 

 für ~ — ^ ^^^^^ einem Körper K{\/' A), wo (^^j — — ^- umgekehrte 



gilt für p = (m — 1. Aus (5) ergibt sich für ji; = 6« -)- 1 und = — 1, weil 



4ca^ -\- b^ = A . {2)) ist 



b , c 



m 



' = -"±"^[/'A = a, (p) (6) 



wo iV((x,,) = ( — a)'^ und a„ ^ =1 [j)) ist. Also ist (6) immer mit drei Lösungen 

 lösbar, von denen infolge 7n^n^ ^ — a (p) nur der einzige Wert x = -\- eine Lösung 



