A. Arwin 



ZU (3) wird. Man sieht also: Für p Primzahl und = -)- 1 existieren null oder 

 drei Lösungen zu (3) in K{\), und für = — 1 immer eine einzige in K(l). 



P) 



Wir wollen uns nun näher mit den binomischen Kongruenzen in K{\'^ Ä) be- 

 schäftigen. Aus dem obigen geht hervor dass = a„ (p) immer lösbar wird, wenn 

 N[(iv) = ^ kvadritischer Rest (mod j)) ist, was auch auf folgende Weise bestätigt wer- 

 den kann. Aus 



[x^yVÄf = a.-^hyÄ [p] 



folgt 



-\- Ayr = Or , , 

 \V) 



. 2xy = bi, 

 ^x^{x~ — ür) = — ylfe,,- (p) 



oder 



(2.r2 — a,,)2 = — 2 = = . 



d. h. 



(7) 2a;2 = av + \ {p) 



und aus 



^ 2 Z.2 Ah 2 



folgt 



d. h. ^ ^'j und ^ sind vom entgegengesetzten Zeichen, und wird also 



immer eine der Kongruenzen (7) lösbar, wie es sein soll. Nun können wir dann 

 m ungerade annehmen. 



Sats VII. Die Lösung von e"* = (p), wo iV(c(i.) = k [p] und m Faktor in p -|- 1 

 ist, kann immer zum Lösen der Kongruenz s"'- = Er{p), wo N{Ei)=l (^j) gilt, ge- 

 bracht werden, was sich für das praktische Rechnen am besten zeigt. Denn 



angenommen, dass ~ ~l~ ^ 8^'^' erhält man aus l\^ = k und k^^ = Tc^ (p), weil 



m nicht gleichzeitig Faktor m p — 1 und p -\- \ sein kann 



fâ = -i gilt i=:^t,^(|/Iy- = ^'■J.t, (p) 



wo 



wird. Für 



