Kongruenzen von dem dritten und vierten Grade etz. 



d. h. 



wo 



N{^) = -1 (p) 



ip) 



ist, d. h. 



=--[V = E„ ip) N(E,)=A 



iP)- 



Ist also = Ev [p] lösbar, so werden umgekehrt alle Lösungen zu e-™ = oty {p) mit 

 oder ohne Kvadratur gefunden, und ist dagegen x"'' = Ei. (p) nicht lösbar, so kann 

 auch nicht = a,, [p] lösbar werden. 



Weil m Faktor in p -|- 1 angenommen wurde, so kann das Kriterium a,, =1 (p) 



P+i 



infolge a„P+'^ = k {p) auch a„ (j>), wo ä-j'" = iV(c<,,) = {p) ist, geschrieben 



werden. Aus 



a,= u, + s, Va 



erhält man 



p+i _ p+i _ 



™ =(Ü,^S, VA) » = U„+, + S,+^ Va (/: 



d. h. *Sp^-l = 0 [p] ist die notwendige und hinreichende Bedingung der Lösbarkeit 



m 



der Kongruenz z'^ = o.„ [p). Es gilt also in erster Linie Ausdrücke für die Sv zu 

 erhalten. 

 Aus 



[TJ^^S, VÄT = Un. + Sr, VÄ [p] 



ergibt sich 



( C7„, + Srn VÄ) [U,-^ S, VÄ) = f7„+i + Sra+X 1^ {p) 



d. h. 



C^l Um -\- A S-^ Sm = ?7,n+l 

 U^ Sm -\- S^Um= Sm+1 



(P) 



(P) 



U, U,n-^ ^ AS, Sm-X = U„, 

 (7j Sm—\ -\- S, Uni—l = S„i 



wird Sm aus (8') in der vorigen von (H) eingeführt, so ergibt sich 



U, + AS, ( U,S^^_, + S, J = U,,^^, ip) 

 die mit Anwendung von 



AS,' = V,' — k (p). 



gibt 



Um + ( + ^'^t'^.-:) - ^ t^.-i = 



= 2C^,f7,„-A^C7_^^t/^^, [p) 



(8) 

 (8') 



