8 A. Arwin 



Ebenfalls erhält man aus Um in (8 ) im letztei'en von (8) eingesetzt 



= U + U^ [S^ Um-l -\- U^Sm^i) = 



(9') = 2 U,Sm — hSm-1 = Sm+, {p) 



Durch Vergleich mit den Formeln S. 475 in Algebra I von Weber H. (1912) findet 

 man für k = 1 und 2 U^ = x 



U,= l 



U, = \ [x' - 2) = ^ A,{x) S,= S,.x = S,B,{x) 



Um =^Äm{x) S,n=Sj^ Bm[x) 



d. h. 



Um{x) = i- . y (- 1 f B^:--'^') ^-2'- 



2.' ' n — V 



(10) 2 - (^,) 



V 



S,„{X) = . ^ (— 1)' 5f -^-1) x'"-2''-l 



m — 1 



0<v' 



2 



d. h. die allgemeinen Formeln (9) und (9') können so geschrieben werden 



Um(x, /C) = l.y{— \f i^f"'-'') X^-'- k^' 



(H) . {i>) 



Sm{x, h) = S^.Y^{— 1)" i^f'"-"-!) Ii" 



x = 2U^ 



Die notwendige und hinreichende Bedingung der Lösbarkeit von z^=o.^ {p) in 

 einem Körper £"(1/^), wo ~ — ^ ^^^^ ^i^'^ ^^^^ 

 n2) Spj^{2Ui. k) = 0 (mod ^) 



m 



gilt. Da es sich in erster Linie um das Lösen der Kongruenzen dritten Grades han- 

 delt, sollen U^ und k in den Koeffizienten a und h ausgedrückt werden. Man findet 



ohne weiteres dass 0"^ = — ^, k = — [p) ist, d. h. für p = 6n — 1 und (^^=-\-l 



hat die Kongruenz 



ic» + 3ax -\-b = 0 [p] 



