Kongruenzen von dem dritten und vierten Grade etz. 9 



drei Lösungen oder keine, je nachdem 



Spj^{—b, —a') = 0 (mod p) (13) 



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gilt oder nicht. 



Dies ist mehr von theoretischem als praktischem Interesse, denn obgleich die 

 Formel der Sp+i in (11) gegeben worden ist, wäre doch die Anwendung von (13) 



viel zu mühevoll. Das praktische Rechnen folgt, wie wir später sehen werden, an- 

 dere Wege. 



Mit Hülfe der Kettenbruchform von — kann die Zerlegung von Sin(r) 

 in Faktoren auf folgende Weise gefunden werden. Es sei 



Sm+\ {^) ^ ^ 1_ 



Sni{x) PC— 1 



X— (14) 



w St. ' 



Das Zusammenrechnen in 



1 



X — 



m St. X 



X — i 



wo t ein beliebiger Parameter ist, ergibt nach einer Multiplikation von unten ab 



{x- — \) — tx S^—tS^ 



X — t S. 2 — t 

 d. h. nach den m — 1 möglichen Multiplikationen erhält man 



Sm+l — t Sm 

 Sm — / S,n-1 



Hat man also 



S2,n ^...^ 1 



2m — 1 St. a; — - 



X , 



S 



und werden die letzten m — 1 x zusammengerechnet, so ergibt sich für = t 



Sm 



(15) 



S 



2 m 



Sm+l t Sm Sm{Sm+l Sm—l) 



m — 1 



wo zwei sukzessive Sm keinen Faktor in x gemein haben können, weil er sonst 

 nach der Rekursionsformel in allen Si, [x] auftreten müsste. Es muss also Som {x) 

 durch Sm {x) teilbar sein. Sind r und q Primzahlen, so ergibt sich also 



Srç {X) = Sr{x) Sg{x)K,{x). 

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