10 A. Arwin 



Weil rq — 1 = X'f {rq) ist, so wird der Grad von {x) gleich ï.(p [rq) — f (r) — 9(3) = 

 = (p[rq). Ebenso erhält man 



Sr,, {x) = Sr {x) S, {x) Ss {x) K, {x) K, [x) K, [x) K, {x) 



wo der Grad von K^(x) gleich '^{rqs) wird. Mittels Schhessen von v zum v-\-l 

 erhält man 



(16) S^{x)=^ M[x)N{x) 



wo M[x) nur Faktoren hält, die in Sv{x], wo v Teiler in jj. ist, vorkommen. N[x) 

 ist ein Polynom vom Grade cp([j,) ohne gemeinsame Faktoren mit irgendeinem Sv[x) 

 von niedrigerer v-Ordnmig. Eine zweite Eigenschaft ist die folgende. Aus der 

 Theorie der Ketteubrüche geht hervor 



Sm Sni—2 — Sm—t Sm—1 = 1 



d. h. 



Sm Sm^2 = (Sm _i -|- 1) (^S*,,,-! 1) 



Für m ungerade ersieht man, da alle x in Sm—i{x) ungerade sind, dass für K{x) = 

 = (a?) + 1' — Sm{x) S,n'2{x) gleich K{x)K{ — x) wird. Weil aber Sm und Sm-i 

 ohne gemeinsame Teiler und gerade in x sind, so müssen Sm{x) und Sm,~2[x) jede 

 für sich so zerlegt werden können. 

 Beisp. 



S.^pi) = S^[x) S,[x) K{x) 

 S,p^ = x^—\ = {x-\){x^l) 

 S,{x] = [x^ — bx^ ^ ^5x^ — \) =^ 

 = [x^ + x' — 2x — 1) [x^ — x^ — 2x-\-\) 



S,^{x) = ic^o — Ux'"" + 153a;" — GSOx^' + \S20x^^ — 3003ic" + 

 4- dOOSx^ — 1712a:« + ^9bx* — bbx^ +1 = 

 = (x' -- 1) (x^ — — 6x^ — 1) . K{x) 



wo 



^(.r) [x'' — 13x^0 + 64:^« — 146:c« + 148x* — 48^;^ + 1) = 

 = {x^ — x'' — 6x* + 633=* + Sx^ — Sx+1). 

 . + — 6** — 6x^ 4- Sx'' -\-Sx-\- l) 



ist. 



Angenommen dass Epj^i = S^ A eine zum Exponenten p+l [moåp) 



gehörige Einheit sei, d. h. dass = — 1 {p) gütig wäre, dann nehmen 



-^p^-i "iid ■E'^j^j konjugierte Werte, wie leicht aus -E!p^, =[U^-\- S^ ^ = — 1 

 und [TJ^-\- S^'\/'AY= Ua -\- SaV A [p) gefunden wird. Setzen wir also J5p+i = 



= -\- S^t.^/^ A (jo), so folgt, dass bei Potenzieren zu Epj^^ Uil schon für \i < ^ ~^ ^ 

 alle Werte, die es überhaupt annehmen kann, durchlaufen hat. Weil aber für 



