Kongruenzen von dem dritten und vierten Grade etz. 11 



jede Einheit zu erhoben der Koeffizient für 1/^ A null wird, so müssen also 



ihre reellen Teile, doppelt genommen, die Kongruenz 



(ic) = 0 (mod (17) 



2 



lösen. 



Da also der Grad von Sp^\ (x) und die Zahl der verschiedeneu Vrj. gleich 



2 



^ ^^"^^ — ij ist, so ersieht man, dass die Kongruenz (17) ebenso viele Lösungen hat, 



wie ihr Grad beträgt. Weiter: ist ungerade, so wird 'f = 'f(/J + 1), und 



es existieren ebenso viele priniitive Einheiten zum Exponenten ^--^^ als /j-f 1 ge- 



Li 



hörig, was auch so bestätigt werden kann: gehört iïJp^-i zum Exponenten \ dann 



muss, weil ungerade ist, — ^p+i zum Exponenten />-}-l gehören. Für ^^"^^ 



gerade wird y(p-]- 1) — 2y ^ j Zahl der ersteren doppelt so gross wie 



die der letzteren. Jetzt gehören nämlich ip+i und — beide zum Exponenten 



~2~ 



und = ± -Kp+i (p) ist lösbar, doppelt so viele Einheiten zuni Exponenten 

 ergebend. 



Nach der Formel (16) ist 



[x] = M{x) . N(x) 



2 



und der Grad von N{x) ^ ungerade, so wird 



d h. alle Einheiten zum Exponenten ^' 7' + 1 gehörig, werden, aus 



N{x) = 0 {[)) erhalten, was damit in Zusammenhang steht, dass N{x) in zwei Fak- 

 toren N^{x) und iV,( — x) zerlegt werden kann, die jeder für sich primitive Wurzeln 



zum Exponenten ^"^"^ und p-\-l respektive ergeben. Für gerade ist 



. i'f(/'+i)^?('4^ 



d. h. alle primitive Wurzeln werden in diesem Falle aus N{x) = 0 {p) gegeben. 



Beisp. p = 23 



S^[x) = X x=0 (7j = 0 (23) zum Exponenten 4 gehörig. 



S^{x) = x^ — \ x=±l [\ = ±11(23) E{\1) zum Exponenten 3 und 

 £'( — 11) zum Exponenten 6 gehörig. 



