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Setzt man a = ß -|- — , so wii'cl 



Ausser theoretischem Intresse, denn ähnhches kommt bei den kubischen Kör- 

 pern nicht vor, hat das oben augeführte ihre Bedeutung für das praktische Rechnen 

 und die Ausführung der Tabelle. 



Da die Beispiele der obigen Theorie auch dazu dienen sollen, gewisse Eigen- 

 schaften in der Binominalentwicklung hervorzuheben, habe ich folgende Tatsachen 

 über dieselbe einschalten wollen. 



Aus 



(18) [x + yY" = ic™ + ^xy [x + y) 'f™ {x, y) 

 wo m ungerade, findet man, dass 



[x, y) = (pm [y, x) 



(19) ^^[kx,ky) = k-"'-^{x,y) 



Wrn {x, y) = tp«, {x,~x-\ry) 



gelten. Es lässt sich aber allgemein zeigen, dass jedes Polynom F{x, y) vom Grade 

 n, das den Bedingungen (19) unterliegt, für ^ 0 (mod 3) immer mit x^-\'Xy-\-y^ 

 teilbar sein muss, denn aus 



F{x, y) = y^F[x, - [x + y)\ = F\xy, - {x' + xy + y') l'] = 

 = F{a, b + k) = F{a, h) -f- k F', (a, b) + ~ F; [a, b) + etc. 



folgt 



F [a, b] = F\xy, x'^) = x"" F{x, y) 

 [x'' — ?/») F[x, y) = [x"- + xy -f y^) -/i [x, y), 



d. h. dass in der Tat für n^O (3) F{x,y) mit x^^xy-\-y^ teilbar sein muss. Es 

 wird also 



(20) F{x^ y) ^ {x' ^xy^ y') {x, y) 



wo 72 (^'^) wieder den Bedingungen (19) unterliegt, d. h. gilt ausser w^O (3) auch 

 noch n- — 2^0 (3), so wird F{x, y) mit noch einem Faktor x"^ -\- xy -{- y^ teilbar 

 und dann wird sicher n — 4 = 0 (mod 3). Danach lässt sich über die Teilbarkeit 

 mit xy y''' nur dies aussagen: Kommt noch ein Faktor x^ ■\- xy -\-y'^ in F[x,y) 

 vor, so müssen so viele andere darin auftreten, dass 



F{x, y) = (x^ -\- xy -\- y'^Y-+^^^ X2 y) 



wird, wo £=1 oder 2 ist, jenachdem «^0 und n — 2=0 oder n^O und n — 2^0 

 (mod 3) gleichzeitig gelten. Im Falle (18) oben findet man, wenn X^^ -)- ^1 + 1 = 0 ^^t. 



