Kongruenzen von dem dritten und vierten Grade etz. 17 



m = 6n—\ Lin / -=-(6// — 1) + U 



X=x. >^ + >^ + 1 



m = Sn Lim (X + 1)»« — X»» — 1 = — 3 + Ü 



d. h. 



(a? + = a:'« + -\- xij(x i- y) {jp + t«/ + iff 't,„ {x, y) (21) 



Î = 0 für m = 3»i 

 s = 1 » »H = 8« — 1 

 s = 2 • «t = 6h -|- 1 



Die Bedingungen (19) ziehen auch folgende Eigenschaft mit sich. Die Po- 

 lynome F(x,y) lassen sich mittels (x^ -\- xy -\- y-)^ und [xt/{x -\- y)]- und ganzzahHger 

 Koeffizienten darstellen. Sei der Koefhzient der höchsten Potenzen in x und y, 

 so erhält man 



F(x, y) — [x"' xy -\- y-f {x^ + xy + yy^'=(x' + xy + y-f xyM^ (.r, y) 



Mittels der Suhstitution (// : — x -\- y) ergibt sich 



xy [x, ?/) = — X (.c + tj) {x, — {x-\- y]) 



M ix y] 



d. h. Jfj (:r, y) muss mit x -\- y und dann — ^ ' , weil es vom ungraden 



X -f- y 



Grade ist, noch mit x -\- y teilbar sein d.h. 



F{x, ?/) - A, [x' + xy + yj+^^ = [x' + xy + yj [xy [x + y)]' (x, y) (22) 



und allgemein, weil H^{x, y) den Bedingungen (19) unterliegt, 



H„ (.X, y) - A,.+r {x' + .T.;/ + yY''"> = [xy [x + y)Y 11,+, (.r, //) (23) 



wo die Konstanten A, auch null sein können. Ausdrücke der A,. in 'f,n[x, y) 

 sind von Muir in Quart. Journ, XVI und auch andere in Gestalt 



_ [m — 2v + 1) . ■ . (ot — i' w — 1) 

 ' ~ ' 22('-i) . 2i'— 1 ! 



gegeben worden. 

 Aus 



(X + \Y -\P-\ =pX{X + 1) (X2 + X + 1)= (X, 1) (24) 



können wir noch folgende Eigenschaft ablesen: 'fp(X, 1) verhält sich relativ invariant 

 gegenüber der Substitutionsgruppe 



^' \' -(' + ^)' -TTT- -TT-r 



Für (X^ + X + l)» = 2t:(X) und [X(X + 1)]^ = Z(X) haben wir eben gesehen, dass 

 9p(X, 1) = ']jp(^r, L) wird. Sei also 'fp(X, 1) = 0 (mod q) lösbar, dann erhält man 



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