18 A. Arwin 



{K, L) = U(K+ K L) . -/ {K, L) (mod q) 



V 



wo die h„ Konstanten sind, und die Linearfaktoren 



K{1) + KL{1) = 0 (mod q) 



die Eigenschaft haben, dass, sobald eine Wurzel X = gefunden worden ist, dann 

 auch die übrigen mittels der Gruppeneigenschaft (25) gegeben sind. Man sage des- 

 halb: K-\-hrL ist die zu X = X^ (mod q) gehörige Gruppeninvariante mit der 

 charakteristischen Invariantenkonstante h,.. Es kann natürlich '\ip{K, L) = Q (mod q) 

 in K und L lösbar sein, ohne dass damit <pp(X, 1) lösbar (mod q) zu sein braucht. 

 Wir haben also die Kongruenz 



X + 1)3 + /i„[X(X + 1)]^ = 0 (mod g) 

 aufzulösen und setzen deshalb v = ^ y-~ — - d. h. 



X ) + " \ x^ ) = " + ^ 



D. h. das Lösen der Kongruenz 



K{1)^ h,L(\) = 0 (mod g) (26) 

 reduziert sich in erster Linie zum Auflösen der Kongruenz des dritten Grades 



+ h y + Ä„ = 0 (mod q) (27) 

 die also drei Lösungen haben muss. Jetzt lässt sich aber umgekehrt zeigen, dass 



^^2 I X I 1 



in diesem Falle auch stets ^ = [q] lösbar wird, denn aus 



(x^ + X + 1)« + h [M>^ + 1)]' = [(>^^ + X + 1) - x^j . 



. [(X^ + X + 1) - X.,] [(X^ 4- X + 1) ~ ^^v,] (mod q) 



ergibt die Subst. (X : — 1 + X) 



[(X^ + X + 1) - X.J . . . = [(X^ + X + 1) + (X + 1) ■ . . (niod q) 



X^ -1- X -4- 1 1 



Aus r— = >\ (?) erhält man sowohl X = X^ wie X = — (mod q) 



X X^ 



d. h. 



(X^ + X,+ l) + (X,+ l)^j, = ü 



also 



X^.Vp = v^, (mod q) 



für 



X^ + 1 + 0 (mod q) 



Mit 



. ^1 + «^2 + «'3 = "-^ ('^^^ 2) 



