Kongruenzen von dem dritten und vierten Grade etz. 



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ersieht man, dass die aus gebildeten die Gruppeneigenschaften haben. Wir 

 haben also nur noch zuzusehen, ob jene X Werte wirklich die kvadratischen Kon- 

 gruenzen lösen. So findet man beispielsweise aus 



dass 



gelten muss, denn setzen wir 



H{v) = t;./ + V,- — V, v., Ts + î.'2 f3 (g) 



so ergeben die Relationen 



v-^ + ^1 + ^'2 '-'s = -h'^v 



+ + ^3^ — ~ (mod g) 



Vy = — hv 

 H{v) = -v,^-2h-^h„ + v,v, iq) 



oder 



ist also giltig. Haben wir also die drei Lösungen zu (27) gefunden, dann wird 

 auch eine X-Lösung zu K(k) -\- L{X) = 0 (mod g) ohne folgende Kvadratur ge- 

 geben. 



Wir wollen für die Primzahlen q solche von der Form w = 2svp + 1 wählen, 

 denn sie besitzen folgende beachtenswerten Eigenschaften. Wenn nämlich 'fp(X, 1) = 0 

 (mod w) überhaupt lösbar ist oder 



(X + l)i'_Xî^— 1 ;=0 (oj) (28) 



so gibt ^- a (w) die Kongruenz (X ~\- 1)p = a -{- 1 (w) oder 



X2psî, = a^«« = 1 

 (a -f- l)''^v = 1 



Also löst a die Kongruenz 



(a + ])^'V+' — a^'+' — 1 — 0 ((.)) (29') 



was auch so ausgedrückt werden kann: die Gruppe, die (28) löst, muss zur ^:ten 

 Potenz erhoben wieder eine Gruppe (mod w) bilden, die selbst die Kongruenz (29') 

 löst. Die Bedingungen (29) zeigen, dass rp2sj,+i (a, 1) = 0 und 'f '05,,+! (a, 1) = 0 (m) 

 gleichzeitig gelten müssen, d. h. dass w eine in ihrer Diskriminante liegende Prim- 

 zahl ist. Üass solche Primzahlen existieren können, werden wir in den folgenden 

 Beispielen sehen, die dann auch Beispiele der oben gegebenen, allgemeinen Tiieorie 

 der Auflösung von Kongruenzen dritten Grades nach einem Primzahlmodulus lie- 

 fern werden. 



