Kongruenzen von dem dritten und vierten Grade etz. 



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(»3 = 247 + i 259 = a (647) 



d. h. 



ß = ^^'^ + = - 97 + 100^- (647) 

 J^(ß) = -1 



und 



ß2 :h 7 = 56 + 10/ 

 iV(Y) = 1 



(647) 



Um die Lösbarkeit der Kongruenz 



^3 = 56 + 10?; (647) (32) 

 zu prüfen haben wir zu untersuchen, inwieweit 



— = 54 



(59 + 10i)3-^ =0±i (647) 

 gilt oder nicht. Das Rechnen gibt 

 U, =56 



=2 . 562 — 1 = _ 



U, = 2 . 199 . 56 — 56 = + 301 

 f7g =2 . 30P — 1 =+41 



f7,2 = 2.412—1 =+126 

 U,^ = 2. 1262 _ 1 = + 48 

 t/',3 = 2. 482-1 =+78 



(647) 



=10 



=2 . 10 . 56 + 0 =—174 

 = — 2 . 56 . 174 — 10 = — 88 



= — 2 . 88 . 301 + 0 = + 78 



= + 2 . 41 . 78 + 0 = — 74 



= — 2 . 74 . 126 + 0 =+ 115 



5,, = 2. 48. 115 + 0 =+ 41 



(647) 



Die Werte oben zeigen, dass U^^ + /Ä',, = *§, + / CT", (647) gilt d. h. {U^ + iSJ'^ = 

 = 0 + z (647), und damit das Kriteriuni der Lösbarkeit von (32) erfüllt. Um das 

 Auflösen wirklicli nach systematischer Methode durchzuführen, sollte man ähnlich wie 

 C. Posse in Acta Math. Bd 35 es tut, verfahren. \¥e)l aber 648 = 3* . 8 die Po- 

 tenz 3 in so hohem Grade enthält, wird das Verfahren, wie immer in derartigen 

 Fällen, besonders verwickelt, weshalb icli lieber so vorgehe, dass ich, nachdem ein 

 primitives f/^-Elemeiit gefunden worden ist, sukzessive U^, U,. . . . Ihv durchrechne und 

 zusehe, wann f/",. = 56 hervorkommt. Als Hilfsformel gebrauche ich T/g,. = (4î7r —SUv) 

 (tu) und prüfe darauf ?7j = 4 in seiner Primitivität. 



