Kongruenzen von dem dritten und vierten Grade etz. 23 



v'-\-lb3 i; + 153 = (y — 15) {v^ + 15 y + 378) (647) 

 hervorgeht, und die übrigen beiden Wurzehi aus 



4(y2+ 15 V + 376) ~(2i;4- 15)2 — 7 =0 (647) 

 2i; = — 15 + 268 



d. h. 



v, = — m 



Daraus wird dann ein Gruppenelement X auf folgende Weise gewonnen 



15. X^- 197 ^450 



X= 40 ^ ' 



d. h. die lösende Gruppe 7,u K + 153 L = 0 (647) ist 



X = 30, 151, —31, — 167, 166, — 152 (647) 



und lassen sich die Kongruenzen 



30" EEF 103 — 31'' = — 104 1661'= 55 



151'^= — 201 - 167"=— 56 -- 152" = 200 



die wieder eine Gruppe bilden, bestätigen. Weil offenbar 



10388=1 ^ 



etc. 467 

 10438=1 ^ ' 



gelten, so löst die letzte Gruppe, wie es sein soll, die Kongruenz 



(X + — X^^ — 1 = 0 (647) 



Was der zweite Faktor in '!^^~^{K, L) : K — 148 L betrifft, so wird die Dislcriminante 

 der Gleichung 



t;3_ 148 = 0 (647) 



= • — 148^,82 und kvadratischer Nicht-Rest (mod 647), d. h. die Kongruenz hat nur 

 eine Lösung in v und K — 148 L = 0 (647) keine in X. 



Nachdem die kubischen Kongruenzen nach einem Primzahlmodulus mit Hülfe 

 kvadratischer Zahlkörper erledigt worden sind, werden wir im folgenden Abschnitte 

 sehen, wie die kubischen Zahlkörper zur Bestimmung des Charakters der Lösungen 

 der bikvadratischen Kongruenzen angewandt werden können. 



Bezeichnen wir mit a,= a,, -(- fc,, p -f {i)) (wo a,., b,. und r, ganze Zahlen 

 siud, p' = T gilt und t ein kubischer Nicht-Rest, also p = 6n -\- 1 ist) eine Zahl im 

 kubischen Körper K{x''''), so können analoge Sätze wie im vorigen Teil aufgestellt 

 und bewiesen werden, indem man nur beachte, dass 1 statt p -\- 1 tritt, 



denn aus o.P = aP + pP. + p^P (jj) folgt, weil [jP = x'I\i =t'/^y_, /j^ = 1 {p) ist, 

 a^ = ß^, + fe^,yy/3 + o,y_2r/» {p) und af = a , + 6 c,,yr/» [p) d. h. af+?'+i = 



= N{a.^) = Jc = -\~ b^i -\- c^x^ — Sa^^b^,c^x (jj). Auch kann die Lösung einer Kon- 



