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A. Arwin 



gruenz s''" = a„ {j)), iV(a,,) = Z; immer zu x^ = E„, iV(E',,) = l [p] reduziert werden, 



p-i 



denn sind (x und r zwei ganze Zahlen, die Nicht-Reste sind d. h. [x ^ = / ^ 1 [p] 



p—i p—1 



so folgt, dass entweder ([xt) ^ oder ([xt^) ^ =1 (^) gelten. Aus ä; = ts^;^^ (p) ergibt 



sich dann ohne weiteres N [jj^^ — ^ (i^)' gezeigt werden sollte. Es kommen 



also hier ganz analoge Verhältnisse wie bei den kvadratischen Körpern vor, und es 

 bleibt nur noch zu untersuclien, wie primitive Einheiten und Rekursionsformeln der 

 a„, h,, und c,, gefunden werden können. Dabei wird es aber angemessen sein, die 

 Sache von irgend etwas anderen Gesichtspunkte aus als im vorigen Abschnitte an- 

 zusehen, um die wirkliche Bedeutung der Rekursionsformeln beurteilen zu können. 

 Es ist nämlich klar, dass jede bestimmte Einheit (mod in K{x'l^) einer bestimmten 

 (mod p) irreduziblen Kongruenz vom dritten Grade als Lösung zugeordnet werden 

 kann. Ist die gegebene Einheit Er = a,. -\- by p -\- c,.(j^ {p), wo = x [p] ist, so 

 kann die zugehörige irreduzible Kongruenz so geschrieben werden 



(32) z^ — da^^z" — ?,{h^,c,z — a^)z—l-() [p). 



Umgekehrt findet man von (32) ausgehend bestimmte Einheiten in jedem Körper 

 ^(t'/») (mod p), denn setzen wir (32) wie gewöhnlich in Gestalt 



so ergibt x = m -\- n 



x^^Ax-^B = Çi [p) 

 + «-^ + .B 0 



3»?»? + .4 = 0 

 = C 



wo G und D kubische Nicht-Reste sind, und also mittels eines kubischen Nicht-Restes 

 T gelöst werden können. Allgemein können 3«, 'd{hcz — a^), rr' bh c^i- — 3ahcT: = h 

 (mod j)) also als Invarianten kubischer Körper (mod ^) von dem Gesichtspunkte aus 

 angesehen werden, dass Zahlen aus verschiedenen Körpern, die jene Ausdrücke 

 (modj)) kongruent haben, sämthch dieselbe irreduzible Kongruenz vom dritten Grade 

 satisfizieren. Da die Einheiten mittels Potenzierung auseinander gewonnen werden, 

 so kann man natürlich von (32) ausgehend in bekannter Weise neue Kongruenzen 

 bilden, die Potenzen von Einheiten zu (32) als Lösungen (mod ^>) haben, d. h. jene 

 Kongruenzen können die Einheiten auch in ihrer Primitivität vertreten, indem es 

 niemals möglich wird aus einer Kongruenz mit nicht primitiver Einheit mittels 

 Koeffizientenbildung in eine Kongruenz mit primitiver Einheit überzugehen. Es 

 wird sich aber zeigen, dass diese Methode doch nicht vorzuziehen ist, sondern viel- 

 mehr eine mittels Rekursionsformeln sukzessive Berechnung der a^, b„ und c„, die 

 infolge der Symmetrie besonders leicht in einem ganz bestimmten Körper Ä'(t'/'') 

 ausgeführt werden kann. Dann geht man nach Belieben mittels der Invarianten 

 zu den zugeordneten Kongruenzen (mod p) über. Es sei noch bemerkt, dass man 



