Kongruenzen von dem dritten und vierten Grade etz. 



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also 5 (mod p) verschiedene irreduzible Kongruenzen vom dritten Grade 



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hat, denn die Zahl der nicht konjugierten Einheiten ist die nämHche. Wir werden 

 also jetzt dazu übergehen Rekursionsfonneln aufzustellen und setzen deshall) 3a='x, 

 3 (bei — a^) = y, dann gilt allgemein 



2'+^ — X . 2'+^ + yz' + ^^'-^ ( p) 



Setzen wir / = a. b^p -\- c^p^ {p), so haben wir ohne weiteres die gesuchten Re- 

 kursionsformeln unter vier einander folgenden Elementen 



^•+2 = ^-+1 + y i^i + K -, il') (34) 



Sie sind natürlich auch direkt aus («i + P + ''i P^) (" + P P^) = "2 + ^^2 P + P (j*^) 

 d. h. 



«2 = "i rt + />! CX -\- bz 



b^ = a^b -\- b^ a -f r, cx (p) (34') 

 = a, c -\- b^ b -f Cj a 



durch fortgesetzte Elimination zu gewinnen. In (34') repräsentieren a, bcz — a^, -\- 

 -\- b^ i -\- — SabcT alle überhaupt möglichen Hauptdeterminanten der Sutistitutions- 

 determinante. Aus (34') folgt für a = n-^^ etc., dass 



f/g = -\- 2hcv 



b, =c^z-\-2ab ip) 



c, = b^ + 2ac 



dann und nur dann in a, b, c (mod p) lösbar sind, wenn in a^^ -{- b/ r -)- c,,-^ — 

 — Sa^b^c^z = k, k kvadratisclier Rest (mod p) wird. Es sei noch bemerkt, dass für 

 beliebige A, B und C nicht alle = 0 [p] und z kubischer Nicht-Rest (mod j>) die Form 

 -f- B^z -f Ct^ — SABCz immer ^0 (mod p) ausfallen muss, d. h. dass jene Form 

 nur solche Teiler p = 6/^ + 1 enthalten kann, für die z (mod p) kubischer Rest wird. 



In den F'ormeln (34) kann man auch Elemente von der Natur rtm(,-|_2), <')n(i-|-i) 

 etc. einführen, womit ein schnellerer Fortgang beim Rechneu erzielt wird. Nach 

 Elimination erhält man 



M. = r. (X, y) M, + .<^. [x, y) M, + t. (:r, y) M, [p) (35) 



wo statt Hj., b^ oder c. gesetzt werden können. Die B^ormel (35) lässt sich 

 aber in einer weniger symmetrischen Form darstellen, indem man beachtet, dass 



^3= X2, + yz^ + 1 [p) 

 zu den folgenden Kongruenzen Anlass gibt 



O3 ^ 1 + xa^^ + ya^ 



h= och^-^y b^ [p] 



Cg = X c.^ -\- y t\ ' 



Lnnds Universitets Års.skrift N. F. Avd. 2. Bd 12. 4 



