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A. Arwin 



die leicht direkt berechnet werden können. Setzen wir also 



r. (x, y)x i- s. (x, y) = m^ [x, y) 

 *\ [x. y)y ff {x, y) = « . (.T, y) 



so ergibt sich 



b = m {x, y) + n [x, y) 

 c. = w. {x, y) + n^ [x, y) 



Aus dem Kriterium der Lösbarkeit von z"' ~ a„ [p], wo m Teiler in p'^-\-p-\-\ ist, 



nämlich a,, ™ = k [p) folgt, dass also gleichzeitig 



iv) 



bestehen müssen. Weiter sieht man ein, dass alle Einheiten die Kongruenzen 

 = 0 = V+j'+i (/^) satisfizieren. Weil aber 



h'^ 0{p) 



ist, so werden, ähnlich wie bei den kvadratischen Körpern aus [x), hier 



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sämtliche Einheiten aus 



(37) ' . (P) 



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gewonnen. Die Rekursionsformeln für r^{x,y), s.{x,y) und t.{x, y) sind die näm- 

 lichen wie für a. etc. Ein expliziter Ausdruck der Formeln (37) wird aber vielleicht 

 nicht so leicht hervorzustellen und vermutlich am besten mittels Determinanten- 

 sätze. Betreffs der Teilbarkeit lassen sich wohl {x, y) und n,^^^j^^_^^ [x, y) nach 



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Teilern in p^+p+l nicht nur (mod p), sondern auch sonst in Faktoren von x und 

 y zerlegen. Um die Parallelität mit den kvadratischen Körpern noch weiter zu 

 verfolgen, wird es zweckmässig sein, die Einheiten immer in ihrer invarianten Form 

 Ejß^p^] [x, y), wo x = ^a, y = 3{bcz — a^) sind, zu schreiben. 



Nachdem wir so gesehen haben, dass die Theorie der kubischen Körper im 

 grossen und ganzen wie bei den kvadratischen Körpern begründet werden kann, 

 wollen wir zusehen, wie sie dazu dienen kann, eine Auflösung der bikvadratischen 

 Kongruenzen zu ermitteln. 



Zu diesem Zwecke brauchen wir nur die allgemeine, bekannte Auflösungs- 

 methode benutzen. Aus 'J^j {x) = aj* + ax^ -\- bx -\- c = 0 erhält man bekanntlich 



