28 A. Arwin 



und ^^ = — 2 — b. 2V3 — 2 . 2'^/% £3 = — 2 + 3 . 2'/'— 3 . 2^/' (19), weil T = 1 (19) ist. 

 Also werden die Wurzeln der bikvadratischen Gleichung 2a = -|- -|- ^3 etc. d. h. 



a = — 3 



ß = 1 4- 2 . 2V^' + 5 . 

 Y=l-5.2'/»-2.2^v. 



S — 1 + 3 . 2'/^^ — 3 . 2^/' 



Wir sehen also, dass in dem Falle, wo die kubische Resolvente für ^ = 6w-|- 1 

 in ^r(T'/«) lösbar wird, hat die bikvadratische Gleichung eine Wurzel in ^r(l) und 

 drei in K[x^^). 



Im Falle 7; = 6m — 1 genügen noch nicht die angegebenen Hülfsmittel, denn 

 die kubische Resolvente muss in einem Relativkörper zu Ki^ A\{^=—\^ mit 



dem Relativgrade 3 gelöst werden. Beim Auflösen der kubisclien Resolvente erhält 

 man nämlich Kongruenzen wie 



= a \ h\/' Å 



ip) 



n^ = a — b[/ A 



die kubische Nicht-Reste sind, weil die Resolvente nicht lösbar in -£"(1) vorausgesetzt 



wurde. Nehmen wir dann in K{A^'^) beispielsweise eine Einheit p^M -\- nVA, 



p+i _ 

 die iiubischer Nicht-Rest ist d. h. p ^ =^ £3, £3'^= 1 (p). Für N{a + h'\/'A) = k^^ [p) 



i'4-i p+l 



möge a ^ ~{a-\-h\/ A) ^ =k^z^ oder k^^^' [p] sein, und dann beispielsweise 

 ^^ = pa [p] in K{A'^'') lösbar d. h. y:^c-\-cl\/^A [p) werden, so wird 



c 4- d V A V 

 pV3 j 



U + /; VA 



Für p'/' = 0 erhält man 



§2 (c + rf Vä) [M — NVA) [p] 



m+nVä 



woraus für 



^^ = p = M+ NVa \må N .N^ = l [p] 

 m^ = 8{c + dYÂ) {8 Ef ~ cd — dMNj -\- N^dSS^ 



hervorgehen und also 



^1 = + = (c — dMN^) (S -f S) -f i\r^ rf (§2 + §2 



Setzen wir noch 



(p) 



