Kongriienzên von dem dritten und vierten Grade etz. 



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so ergibt sich schliesslich 



z^ = — 2N^(l-{-{c — dMN^) G-\- N^do^ ( p) (39) 



wo d, iV^ und (c — dMN^) in K{\) Hegen. Es gilt also nur noch die Kongruenzen 

 i^^e^ {p) wirklich aufzulösen, wozu doch eigentlich eine Begründung höherer 

 Zahlkörper und einfacherer Relativkörper erforderlich wäre. Per Analogie kann 

 doch erraten werden, dass sie unter ähnlichen Umständen wie oben gelöst werden 

 können. Man sieht auch leicht ein, wie die Rechnung fortschreiten wird, wenn sie 

 sich auch komplizierter gestaltet. 



Jetzt gestaltet sich die Diskussion der Wurzeln einer bikvadratischen Kongru- 

 enz nach einem Primzahlmodulus, weil die bikvadratische Gleichung und ihre Re- 

 solvente dieselbe Diskriminante haben, auf folgende Weise. 



^"^j = -j- 1, und die kubische Resolveute hat drei Lösungen in /fft''^) und K(o) 

 respektive, die dazu kvadratische Reste (mod p) sein müssen. Dann hat 

 die bikvadratische Kongruenz eine Lösung in K{1) und drei in 

 oder K{a), je nachdem p = (}n-\-l oder 6n — 1 ist. 



-\- 1, und die kubische Resolvente hat drei Lösungen in -K'(l), die dann ent- 

 weder alle Reste sind oder auch nur eine und dann die übrigen beiden 

 Nicht-Reste. Im ersteren Falle hat die bikvadratische Kongruenz vier 

 Wurzeln in ä'(1) und im letzteren in K{A'^-). 



— — ^- Die kubische Resolvente hat eine Wurzel in K{1) und zwei in ^"(^1''-). 

 Sind sie kvadratische Reste, dann hat die bikvadratische Kongruenz zwei 

 Lösungen in K{1) und zwei in K{A'''). Sind sie aber kvadratische Nicht- 

 Reste, dann hat die bikvadratische Kongruenz vier Lösungen in einem 

 Körper K(A'i*) oder in einen Relativkörper zu K{Ä'i-), je nachdem 



p — 4,u-\- l oder 4« -)- 3 ausfällt. 

 Damit sind alle Fälle einer bikvadratischen Kongruenz berücksichtigt worden. 



