J_>/en här nedan följande undersökningen föranleddes av en serie föreläsningar 

 över de partiella differentialekvationernas teori, som jag våren 1006 höll vid Lunds 

 universitet. En del av den användes för att i någon mån göra den lucka mindre 

 kännbar, som vållades därav, att de part. differentialekvationerna av den paraboliska 

 typen under några år blivit något försummade för de elliptiska och hyperboliska 

 ekvationerna. 



De resultat, som här bevisas, äro så till vida icke nya som de innehållas i 

 en mycket allmän sats, uppställd av 8. Berustein Något bevis för denna sats 

 har emellertid, så vitt jag vet, hittills icke publicerats. Oavsett detta har det in- 

 tresserat mig att se, hur långt man kan komma med den änkla approximations- 

 metod, som jag här ständigt använder. 



1. Vi skriva värmeledningsekvationen under formen: 



Vi säga om en lösning till denna ekvation, att den är regulär i det inre av 

 ett område, om den själv jämte de i ekv. A. ingående derivatorna är kontinuerlig 

 i alla inre punkter av detta område. Vi säga, att den är regulär i samma område, 

 om den dessutom tenderar mot bestämda värden, när punkten x, y på något sätt, 

 likgiltigt vilket, tenderar mot randkurvans punktur, och om dessutom dessa värden 

 bilda en kontinuerlig följd. 



Jag måste till en början erinra om några bekanta satser ur teorien för värme- 

 ledningsekvationen. Låt oss anta, att vi ha ett område av ^//-planet, upptill (åt 

 växande y) begränsat av en rät linje // — rj och för övrigt av en kurvbåge B, om 

 vilken vi antaga, att den har en i allmänhet (d. v. s. med undantag av ett ändligt 

 antal punkter) kontinuerlig följd av tangenter. Tag en punkt t,, rj på den ovan- 

 nämnda linjen och låt E {x, //; Tj) betyda funktionen: 



_ 8m 



A. 



1 



Comptes Rendus 1905. 



