4 



C, W. Oseen. 



Har man då en lösning u {.r, //) till ekv. Ä, som i det inre av det ovannämnda 

 området, iJ, är regulär och som tenderar mot ändliga och i allmänhet kontinuerliga 

 värden, då man närmar sig randen, samt gäller sistnämnda egenskap också om 

 derivatau u,,, så är: 



2 |/ ^ » (i, T|) = / [(E u, — u E;) dij -\-uE dx], 



varest integrationen sträcker sig i positiv riktning över bågen B. 



Med hjälp av denna sats bevisar man lätt, att en lösning u {x, //), som är regu- 

 lär i det inre av 12, varken inom il eller på den räta linjen y = '(\ kan ha ett 

 maximum eller minimum. Sådana ställen måste alltså betinna sig på bågen B. 



Om denna båge speciellt är sammansatt av tre räta hnjer, två x = a, x = b, 

 {a < h) parallella med //-axeln, en y = y^, parallell med .r-axeln, kan man utan 

 svårighet bilda en lösning till värmeledningsekvationen, som är regulär i il och på 

 den av de tre nämnda linjerna bildade konturen antar en godtyckligt föreskriven 

 kontinuei'hg värdeföljd. Sätter man: 



[ic — 4 + 2 M (6 — a)] ^ [x-\-i + 2u{b-a) — 2a] 



+ * TTZTZToT, 



Vfi — y\-cc -00 



så har man nämligen : 



2\/ Tzu{kyri)= u [a, y) {x, y\i,ri)\ dy — i u (?>, //) G, [x, y; 4, m dy + 



a 



-\- fu {x, y i) G {x, //i ; i, v]) dx 



b 



Den så definjerade funktionen har de begärda egenskaperna, och på grund av 

 den ovan nänmda satsen om läget av maxima och minima, finns det icke mer än 

 en sådan funktion. 



Vi betrakta nu en lösning ti {x, y), som är regulär i vår rektangel, som för- 

 svinner på de båda sidorna x = a och /■ = ft och vars värden på sidan // = rj^ 

 bilda en kontinuerlig följd med en i allmänhet kontinuerhg derivata, vilken ligger 

 innesluten mellan två ändliga gränser M och m {>n ^ M). Vi ha då: 



b 



2 I/tt u {i, ri) = ju {x, y,) G {x, y,; 4, r^) dx 

 a 



Vi beräkna derivatan — och få: 



di 



