Om Dirichlety pro})leiii vid vänneledningsekvationen. 7 



är kontinuerlig. Inotn var och en av strimmorna satisfierar den eliv. A. Närmar 

 man sig någon av linjerna: 



y = y.+ ' -^ 



"dW 



erhåller man samma gränsvärde för derivatan -, från vilken sida man än kom- 



mer. Det samma gäller ~ och alltså också ~. Även dessa derivator äro 



g- VT dW 

 — ~ och alltså också — ^ 

 8.x^ dy 



alltså kontinuerliga i hela il^ och satisfiera där ekv. A. är alltså en i fij 



regulär lösning till denna ekv. 



Vi upprepa nu förfaringssättet, i det vi ersätta talet n med 2 n. Vi erhålla 

 ett nytt område Og, större eller åtminstone icke mindre än lij, samt en ny lösning 

 W^, regulär i Ü^. Vi taga därpå 2hi, 2hi o. s. v. i st. f. n och få en rad funk- 

 tioner W]^, Wj^ ... Vi påstå, att lim Wvi är den sökta funktionen. 



m = -jo 



Först en anmärkning om derivatan W,„_^-. I den nedersta rektangeln måste 

 enligt den i § 1 hevisade hjälpsatsen : 



iW™.! < M. 



Denna olikhet gäller således också på gränsen till nästa rektangel och således inom 

 hela denna o. s. v. Den gäller således i hela 



Låt oss nu betrakta ett område w, som ligger inom a h c d och vars rand icke 

 har någon punkt gemensam med a h eller c fl. Man kan då alltid finna ett helt 

 positivt tal mj, sådant att om nr > m w ligger inom Q,,,,. Vi antaga, att m upp- 

 fyller denna ohkhet. 



Vi betrakta nu områdena ii„, och ß,„ + i. V^i söka en övre gräns för det våg- 

 räta avståndet från en punkt på fi,„ + i:s rand till den närmaste punkten av ß,„:s 

 rand t. ex. för avståndet e f. \'\ ha. om rj är punkten //is ordinata: 



! L I ^2 — Vi \ ,^ i _ .^2 — Vi ! /.„ I ^[y2 — Vi 



e.t - j '? yn + 2^T7^j - f (^i) j - 2^î7^j \n + -^^r^. 



(u < e < 1), 



alltså : 



■' = 2"' + i. n 



Funktionen W^j^i antar på fi„, + i:s rand värdet 0. Vidare är inom hela ilm-\-\'- 



^JL'^ < M 



dr = 



Alltså följer, att man på de lodräta delarne av fi„,:s rand har olikheten : 



Denna olikhet gäller med så mycket mer skäl på de vågräta delarne av ß,„:s rand 



