8 



C. W. Oseen. 



med undantag av !> c och den del av aä som hör till randen. På hela randen med 

 undantag av den nämnda delen av a d gäller alltså: 



Denna olikhet måste då gälla inom hela (^m och alltså speciellt i co, dess gräns in- 

 heräknad. Där gäller den, vilket helt tal m är, blott m > m . 

 Vi betrakta nu serien: 



Av de nyss erhållna olikheterna följer, att den i hela w konvergerar obetingat och 

 likformigt. Den definjerar alltså i od en kontinuerlig funktion. Vi beteckna den 

 med W. 



dW d^W 



Att W inom området ah c d har kontinuerliga derivator och k, vilka 



satisfiera ekv. A följer därav, att funktionerna Wm ha denna egenskap, med hjälp 

 av en slutledning, som inom teorien för potentialfunktionerna redau är klassisk. 



Det återstår att bevisa, att W antar de föreskri fna rand värdena. Att den 

 gör det i varje inre punkt av h c, följer av det föregående, då man kan välja w så, 

 att dess rand innehåller en godtyckligt vald sådan punkt. Meu det måste visas, 

 att W försvinner på a b och c d. 



Tag t. ex. en punkt på a b. Tag en positiv storhet s och avgränsa omkring 

 punkten, inom a b c d, ett område D, sådant, att det största vågräta avstånd en 

 punkt i D har till a h är mindre än t. Vi påstå då, att t kan tagas så litet, 

 att inom D: 



|Tr!<rj, 



där är en på förhand vald, godtyckligt liten, positiv storhet. 



Tages 7n tillräckligt stort har il„i en yta gemensam med I). Det största värde 

 funktionen Wn, kan anta inom D är, eftersom ^Wm.r\ < M och på randen till 

 W,„ = 0, numeriskt mindre än Ms. Taga vi: 



fl 



2 M 



ha vi alltså i varje punkt av D, som ligger inom ett Q,»- (d. v. s. i varje inre 

 punkt av D) : 



\W,„\ <^ 



om W,„ är en av våra approximationsfunktioner, som existerar i punkten. Vidare 

 kunna vi finna ett helt positivt tal m", så stort att om m>^m", så är i varje 

 punkt av Q,,, ■ 



\w-wj.<'i 



