Om Dirichlets problem vid värmeledningsekvationen. 9 



Av båda ekvationerna tillsammans följer, att inom B är: 



I TF| < rj 



Härav följer, att W måste närma sig gränsvärdet O, då man obegränsat närmar 

 sig pnnkten ifråga. 



3. Vi betrakta i denna § samma område a h c d som förnt. Men vi anta 

 nn, att två funktioner a (?/) och ß (//) äro givna, vilka i intervallet i/^ ^ y äro 

 kontinuerliga och ha kontinuerliga derivator. Det antages, att i punkten b: 



^- (,Vi) = X 



och i punkten c: 



ß = ■/. (■'■) 



Vi skola visa, att det då existerar en (och naturhgtvis endast en) lösning till 

 värmeledningsekvationen, som är regulär i ah c d och på a h, h c och c d antar 

 värdena a (//), ■/ ß {y). 



Låt M vara ett positivt tal, större än maximum av a (?/):s, ß («/):s, / (//):s, 

 a' {y):s, ß' («/):s, "/' (y):s numeriska värden. 



Genom de räta linjerna: 



dela vi åter upp ah c d i strimmor. Vi konstruera en approximativ lösning på 

 följande sätt. Den understa strimman har till hörn fyra punkter med koordinaterna: 

 'f [Vi + 5)' ?/i + 'f Vi'^ '\ (2/1)' Hl' 'P C'/i + S), y^ + 5, Vi bestämma koefficienterna 

 p,q,r,s i polynomet. : 



P(i) (x, ij)=p qx^r (^^ + //j + .v + 



så, att polynomet i dessa fyra punkter antar de föreskrivna värdena. Därefter 

 konstruera vi en lösning, som är regulär i strimman, som på b c antar värdena 

 X (■'■) — -P'g' i^/'y)^ medan den försvinner på kurvbågarne. Denna lösning -|- P<^) {x, y) 



ger den approximativa lösningens värden i den understa strimman. Vi övergå 

 därefter till den näst understa och förfara på samma sätt med den skillnad, att den 

 nya funktionen på strimmans undre gräns skall anta samma värden, som vi där 

 redan erhållit. Vi fortsätta på samma sätt och erhålla en funktion (x, y), som 

 i ab c d är en regulär lösning till värmeledningsekvationen. 



Vi upprepa samma förfaringssätt, i det vi ersätta n med 2 n, 2^n o. s. v. Vi 

 få så en rad funktioner W-^, W^, ... Vi påstå, att lim. Wm är den sökta 

 funktionen. ~ 



Vi bevisa först, att det finns ett sådant positivt tal P, att om o tages till- 

 räckligt litet, koefficienterna i P^V, P^V ■ . ■ alla äro numeriskt mindre än P. 



Tag en strimma vilken som hälst, t. ex. den som ligger mellan linjerna 

 y = î/i + (m — 1) 5 och y = //j -f md. Dess hörn ha koordinaterna: 



Lunds Univ:s Årsskrift. N. F. Bd 2. Afd. 2. 2 



