12 



C. W. Oseen. 



Vi söka en övre gräns för \Wn, + i— W,„\. W,„ + i är inom strimman h^hcci 

 karakteriserad därigenom, att den på b c antar värdena y (•'") och pä h och c 

 värdena P'^' [x^ ij). W,,, åter är inom strimman h c L\ karakteriserad därigenom, 

 2'« + 1 



att den på & c antar värdena / ijx) och på B^ b och c värdena P<|' y). Skil- 



nåden + i — W„i är alltså en lösning till värmeledningsekvationen, som är regu- 

 lär i strimman h^b c c^, och som försvinner på }> c. Äro x^, koordinaterna för 

 punkten h och x,y koordinaterna för en punkt på bågen b^ b, så gäller vidare: 



P^l^{.r,,,)=Pil^[x^^y^)^[y-y^) 

 2"' 2'« X = tp"(2/) 



varest Ü är ett positivt egentligt bråk. Alltså följer: 



2"' 2'" 2'« 



Man ser på samma sätt, att denna olikhet gäller också om polynomet P<î> ersättes 



2"* 



med polynomet P^». Alltså följer att på b^ b: 

 2'« + i 



|Tf,„+i-Tr,„i<|| 



Samma olikhet gäller naturligtvis på c och alltså i hela strimman b^ b c c^, rand- 

 kurvorna inberäknade. På samma sätt, blott med den skilnad, att man nu använder 

 den omständigheten, att polynomen P<i> och P<|> i punkterna Pj och C, anta samma 



2m 2"' + 1 



värden, bevisar man, att samma olikhet gäller i strimman B^ b^ C^. 8å kan man 

 fortsätta och finner alltså, att olikheten gäller i hela abed, randkurvorna inberäk- 

 nade. Serien: 



W^^(W,- T^J + . . . 



konvergerar alltså likformigt i hela området abed, gränserna medräknade. Att 

 den definjerar en lösning till ekv. A, som är regulär i a b c d, kan bevisas på samma 

 sätt som ovan. Denna lösning antar på b c värdena / {x) och på <t b en kontinuer- 

 lig följd av värden, som i en överallt tät punktmängd överensstämma med den 

 kontinuerliga funktionen a (y):s värden. Alltså måste den på denna kurvbåge anta 

 värdena a [y). Likaså måste den på & c anta värdena ß {y). Den har alltså alla de 

 begärda egenskaperna. 



ap|) 



2'" 



8P< ) 



Ù 



2m 



dy 



v = .'y, + 0/ — '/,) 



4. Den i föregående § gjorda förutsättningen, att funktionerna a (</), ß («/), 

 ■/ (,/■) skola äga kontinuerliga derivator kunna vi efteråt låta falla. Om de tre 



