Om Dirichlets pi'ol)lem vid värmeledningsekvationen. 



13 



funktionerna giva en kontinuerlig funktion av bäglängden, räknad t. ex. frän a, 

 så kan man enligt en l)ekant sats av Weierstrass finna en följd av polyuom (.s), 

 p.^ (s) . . sådan att med växande n p,, [s] likformigt konvergerar mot vår kontinuer- 

 liga funktion. Mot vart och ett av dessa polynom svarar en i a h c d regulär 

 lösning till ekv. A. Dessa funktioner ha en gränsfunktion, som är den sökta 

 lösningen. 



Vidare kunna vi utsträcka vår sats till figurer, begränsade av en linje a c, 

 parallell med , »axeln och av två kurvbågar a /> och h c, förutsatt att dessa kurv- 

 bågar äro definjerade genom två ekv. x = 'p{//) och ,c = (//), varest 'f och äro 

 entydiga, kontinuerliga funktioner med kontinuerhga derivator, som ovantör varje 

 karakteristik, som skär tiguren, uppfylla olikheter av formen: 



Vi vilja alltså bevisa, att det fin- 

 nes en lösning till ekv. A, som är 

 regulär iahe och på konturen 

 ah c antar föreskrivna kontinuer- 

 liga värden. 



Låt 63 . . vara en av- 

 tagande serie av positiva tal, vil- 

 kas summa konvergerar. Låt x^, 

 vara koordinanterna för }>. Man 

 kan då alltid finna en avtagande 

 serie av positiva tal '/jj, vjg . . . 

 sådan, att oskillationen av randvärdena på den båge, som ligger under linjen 

 y = Dl -j-'lm är mindre än s,„. Beteckna med fl,„ den del av området ah c, som ligger 

 över linjen y = -\- 'f\„i- Lät ((, &',„, c vara dess hörnpunkter. På h,„ />,„', ut- 

 breda vi en kontinuerlig följd av värden, som i h,,, och h' ,„ sammanfalla med de 

 givna randvärdena, och som på hela linjen h,,, h' „1 ligga inneslutna mellan det 

 största och det minsta av randvärdena på h,,, h //,„. Med U„i beteckna vi en lös- 

 ning till värmeledningsekv., som är regulär i il,,,, på a b,„. och //,„ c antar de givna 

 randvärdena och på b,„. h' ,„ den nyss nämnda värdeföljden. Vi vilja då bevisa, att 

 lim Um är den sökta funktionen. 



m = cc 



Avskär av området a h c ett delgebit oj genom en linje // = ^1 + 5, där 3 är 

 en positiv storhet, hur liten som hälst. Vi påstå, att U,„ i w konvergerar lik- 

 formigt mot en gränsfunktion. 



Man kan alltid finna ett helt pos. tal m' så stort, att om in > in', så ligger 

 w i iim. Vi betrakta nu serien: 



Vi uppskatta dess termer. Tag t. ex. T/^,» +1 — U,,,. Den är definjerad i il,„. På 

 a b„i' och &'„t- c är den = 0. På b,,,' b' ,„■ antar U„„ värden, som ligga mellan det 



