14 



C. W. Oseen 



största och minsta raiidvärdet under liuieu // ~ //i + 'f/ »/ ■ l^et saiiiina gäller oin 

 Uii,' + i enligt den inledningsvis nämnda satsen om en lösnings till värmelednings- 

 ekvationen maxima eller minima. Alltså följer, att på h,,,- h' „r och således i hela 

 ii,,,-, speciellt alltså i co, man har: 



U,„/ -1-1 — ?7„f I < . 



Samma olikhet gäller om m' ersättes med ett större helt tal. Vår serie konver- 

 gerar alltså obetingat och likformigt i området co. dess gränser inberäknade. Härav 

 följer, att i samma område dess summa U är en kontinuerlig funktion av x, y, och 

 att den är en i oj regulär lösning till värmeledningsekvationen, som på de 

 delar av bågarna a h och h c, som tillhöra wis rand, anta de föreskrivna värdena. 

 Återstår att bevisa, att då man närmar sig punkten h, funktionen tenderar mot 

 det där föreskrivna värdet, låt vara v. Vi påstå, att om s är- en positiv storhet, 

 hur liten som hälst, nian kan finna ett sådant positivt tal 8, att i den del av om- 

 rådet a h c, som ligger under linjen // = «/i + 5, oj-, man har: 



- r I < £ 



Tag ett pos. helt tal ni' så stort, att: 



^ 2 



Välj o så, att: 



■q,„- + 1 <o < 'fl,,,'. 

 I den del av oj-, i vilken U,,, {in>^m') är definjerad, ha vi då: 



\U„,- —V\ < £„.- < ~. 



Vidare kunna vi taga m så stort, att inom samma område: 



I C/ — u„,\< |. 



Alltså följer, att i varje punkt av oj-, som tillhör ett område ß,„, gäller olikheten: 



I f7— i < s. 



Men varje annan punkt i oj- än h har denna egenskap och olikheten gäller alltså 

 i hela w-. Alltså tenderar Ü mot gränsvärdet c, då man obegränsat närmar sig 

 punkten b. 



Har man ett område (t !> c d begränsat av två karakteristikstycken a d och h c 

 och två kurvbågar a h och c <l, om vilka vi göra samma antagande som ovan med 

 det undantag, att vi nu antaga, att de i b och c tangera b c, så följer av det ovan- 

 stående, att det existerar en i området regulär lösning till värmeledningsekvationen, 

 som på b c antar ett föreskrivet konstant värde och på a b och c d kontinuerliga 

 värdeföljder, godtyckhga med den inskränkningen, att värdena i b och c måste 

 sammanfalla med det konstanta värdet på b c. Till detta fall kan det allmänna 

 problemet, då en godtycklig, kontinuerlig värdeföljd är given på konturen a b c d 



