Om Dirii'hlets problem vid värmpledningsekvatii.men. 



15 



återföras. Man kan nämligen omgiva ah c d med en rektangel a' h c' d\ vars sidor 

 äro parallela med koordiuataxlarne och sådan att linjerna ad' och Ii' c' innehålla 

 a d resp. h c. Söker man därpå en lösning till värmeledningsekvationen, som är 

 regulär i rektangeln och på r/W/', h' c' och c' d' antar en kontinuerlig värdeföljd, 

 som på h c sammanfaller med den där givna men för resten är godtycklig, så har 

 man för att lösa problemet blott att till denna addera en i ab <■ d regulär lösning 

 till värmeledningsekvationen, som försvinner på Ii c och på a h och c d antar vissa 

 bekanta kontinuerliga värden. 



5. För att utsti'äcka vårt resultat vidare betrakta vi ett område a h c d be- 

 gränsat av två karakteristiker a d och h c, till vänster (mot avtagande x) begränsat 

 av en rät linje parallell med // axeln och till höger av en kurvbåge c d, definjerad 

 genom en ekvation x = >\i(y), varest '|» («/) är en kontinuerlig funktion med kontinu- 

 erliga derivator av första och andra ordningen. Om första derivatan förutsättes, 

 att den satisfierar olikheten : 



varest iV är ett visst pos. tal, och om den andra, att dess numeriska värde ständigt 

 förblir mindre än ett visst tal M. Vi antaga dessutom, att längden av sidan Jic är 

 så liten, att: 



3 



— hc > 0. 



N 



Genom en rät linje y = Y|, vilken skär a h och c d i 

 punkterna // och c', uppdela vi a h c il i två delar, av 

 vilka vi betrakta den understa. Enligt det föregående 

 finns det en lösning till ekvationen: 



^-f^" = (., B. 



vilken är regulär i h'hcc', på h' c' försvinner och 

 på h' b och c' c antar samma värden, som funk- 

 tionen : 



(X - 4) ' 



1 ~ 



- e 



y 



där i, Tj äro koordinaterna för en punkt på linjen y = -q. Vi beteckna denna funk- 

 tion med f/ (.'•,//;£, T|) och undersöka nu funktionen: 



K (.-r, y; i, tj) — U (.'■, // ; £. ïj) = V (,/■, // ; i rj) 



såsom funktion av £ och tj. Yi vilja visa, att den äger derivator , och 



' • ^ 8i di' d-fi 



som äro kontinuerliga, så länge punkten i, 'q varierar inom den del av området 



ahcd, som ligger över linjen Yj = ?/, att den satisfierar värmeledningsekvationen: 



