16 



G. W. Oseen. 



ait den närmar sig gränsvärdet O, när punkten i, Tj närmar sig en punkt av a h 

 eller c c/, samt att den, när ^, -q närmar sig obegränsat dei\ räta linjen -q = y, för- 

 håller sig son3 funktionen E (x, v/; ^, rj). 



g [7 



Vi bevisa först existensen av derivatan — t-. Vi betrakta alltså: 



•di 



U (.r, y; £ + o, -q) — U{x, y\ j, -q) 



Såsom funktion av x,y är detta en lösning till ekv. B, karakteriserad därigenom, 

 att den försvinner på // c' och på // h och c' c antar värdena: 



/ (X—i—rj )^- ^ 



J I „ 4 (r, — «/) _ ^ 4 ("fi — 2/) 



O ]^-q —y\ 



Hur liten den positiva storheten 'q' är, kan man nu alltid finna en sådan pos. 



storhet s, att om <5 ^ s på bågen h' h och c' c gäller: 



i i'^-^r ( {x-i-^ )' {x-iy \ I 



Vi veta, att det finns en lösning till ekv. B, som är regulär i området h'hcc', för 

 svinner på 1/ c' och på // h och c' c antar värdena: 



2 (7] ^ 



Vi beteckna denna funktion med {x,y,^,ri) och kunna då sluta, att om 

 S <^ s, så är på h' h, b' c' och c' c och således i hela området // h c c' : 



Alltså följer, att: 



Man bevisar på samma sätt, att den andra derivatan m. a. p. ^ existerar och är lika 

 med den funktion av x,y;^,-q. vilken såsom funktiou av x och y är en i h'hcc' 

 regulär lösning till ekv. B, försvinner på h' c' och på h' h och c' c antar värdena: 



g2 



^ E {x, y ; i, -q) 



På analogt sätt bevisar man, att derivatan — - existerar och är lika med den 



d-q 



funktion av x, y ; i, t], vilken såsom funktion av x, y satisfierar ekv. B, är regulär 

 i h'hcc', försvinner på h' c' och på h' h och c' c antar värdena: 



