Om Dirichlets problem vid värmeledningsekvationen. 1"^ 



9 8^ 



Man sluter härav, att derivatorna och ~ äro kontinuerHga, när punkten 



4, 7j varierar inom ahcd och att de satisfiera ekvationen: 



Samma egenskaper tillkomma också funktionen: 



E 2/ U, -^i) — U [x, y ; ^, r^) = I' (.r, // ; |, -^j). 



Vi söka nu gränsvärdet av tunktioueu V [x, y; t^i]), då ■/] närmar sig en 

 punkt på den räta linjen h' h. Låt x = x^ vara ekv. för deuna linje. Vi söka 

 alltså gränsvärdet av V {x, y; x^ h {'f])r(i), då närmar sig ett visst värde yj^ och 

 samtidigt 5 (tj) går mot 0. Vi sätta : 



V [x, y ; ,Ci + 3 (y]), Tj) = E (,r, ; x, + 5 (rj), yj) — E (;r, x^ — o (•/]), -rj) — {x, y ; I -q), 



Ç = + S(Yi) 



; 4, ifj) satisfierar såsom funktion av x, y ekv. B, försvinner på linjen y = ri 

 och antar på h' h och c' c samma värden som funktionen : 



_ [x — x, — Q (t |)] _ [a; — a;, + 5 (y])] ' 



V^Tj — Vri — y 



På &^ försvinner alltså identiskt. På Cj r antar f^^ värden, som tendera 

 likformigt mot O, då o går mot 0. Alltså följer : 



lim (x, //; i, Tj) = O 

 •^1 = '^11 



Vidare tenderar vid avtagande 8 skilnaden : 



E {x, y;x^^d (Yj), Tj) — E [x, y ; .r, — S (r^), -q) 



mot O i varje punkt av h' b c c' . Det samma gäller då om V {x, y; x^^ -\~ 8 {rj), t]). 

 För att visa, att det samma gäller på bågen e d skriva vi : 



i = (Ti) - 3 (-0 (8 (T;) > U) 

 ^ {x, y ; »Ky]) — S (y|), Tj) = E {x, y\ (y|) — 3 (y|), t]) — 



_ , 2 C^) (-^'^ E .v; 'i (rj) + 3 (Tj, Ti) - CT, (,., y; i, y]) 

 iJj^ (.r, «/;<;, Yj) skall på b' h och c' c anta samma värden som: 



V{x,y; 4, ri) = E (ic, y ; (rj) - 3 (y]), - p ' ' ' ^"^^ E ^ ; (y,) + 3 (r,). 



Vi vilja visa, att när Yj tenderar mot ett värde och samtidigt S (y^) mot O, 

 värdena av ?7(.r, «/; 6, ïj) på b' b och c' c tendera mot 0. Detta är omedelbart klart 

 för alla andra punkter // än dem, som ligga på ett stycke c' c" , för övrigt hur litet 

 som hälst. Vi betrakta nu en punkt x,' y' på bågen c' c. Genom den draga vi en 



Lunds Univ:s Årsskrift. N. F. Bd 2. Afd. 2. 3 



